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I. Abschnitt. Viertes Capitel. Die Gerade, 
derselben stellen die Gerade dar und es kann daher jede durch Eli 
mination der gemeinsamen Coordinate aus den beiden anderen abge 
leitet werden. 
Von den drei Gleichungen wählen wir etwa die beiden, welche 
die Projectionsebene auf die {XZ)~ und (VZ)-Ebenen darstelleu, 
zur Repräsentation der Geraden. Dieselbe denken wir uns demnach 
durch zwei Gleichungen von der Form 
x = mz-\-p, y — nz -j- q 
individualisiert, Setzen wir hierin z = 0, so finden wir 
x = p, V = q, 
d. h. p und q sind die Coordinaten des Durchschnittpuuctes der Ge 
raden mit der (Wj-Ebene, Sind daher x, y, z die Coordinaten 
irgend eines Puñetes der Geraden und ist r seine Entfernung vom 
Puñete p, q, o, so ist nach § 4, 2 
X— p X — q a Z 
----- = cos «; ~r = C0S t*’ — = cos y, 
wo a, ß, y die Winkel sind, welche die Gerade bezüglich mit der 
X-, Y- und Z-Axe bildet. Da nach der Voraussetzung aber x, y, z 
ein Punct der Geraden ist, so müssen seine Coordinaten den Gleich 
ungen der Geraden genügen und es ist somit 
daher 
oder 
x — p = mz, y — q ===== nz, 
cos a — m- , cos ß — n - , 
eos u cos ß 
= m, —- = n . 
cos y ’ cos y 
(1.) 
Vermöge der Relation § 3, 4 
cos a 2 -|- cos ß 2 -f- cos y 2 = 1 
lassen sich nun die Winkel a, ß, y, welche die Gerade mit den Axen 
bildet, durch die Constanten m und n der Geraden ausdrücken; es 
ist nämlich 
i a n m . 
cos y == _. --=: cos ß ==- ; cos a — , ■ (2.) 
wo die Wurzel dasselbe Zeichen besitzt, aber positiv oder negativ 
genommen werden kann, da sich die Winkel, deren Cosinus entgegen 
gesetzte Zeichen haben, um 180° von einander unterscheiden. 
Auch die Coefficienten in den Gleichungen der Durchschnittspuncte 
der Geraden mit den Coordinatenebenen haben einfache geometrische 
Bedeutung. Da jedoch dieselbe für das Folgende ohne Belang ist, 
so wollen wir auf die Untersuchung dieser Bedeutung nicht weiter 
ein gehen.