§ 21. Winkel zweier Geraden, 
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§ 21. 
Winkel zweier Geraden. 
Die vorhergehenden Formeln ermöglichen es, den Winkel, den 
zwei durch ihre Gleichungen gegebene Gerade mit einander bilden, 
zu berechnen. Sind nämlich 
x = ms -(- P } V — ns -f- q 
die Gleichungen der einen und 
x — ms -f- p', y — ns -j- q' 
die Gleichungen der anderen Geraden, so sind die Winkel a, ß, y, 
welche die erstere, und die Winkel a' } ß', y', welche die zweite be 
züglich mit der X-, Y- und Z-Axe bildet, durch die Formeln ge- 
geben § 20, 2 
daher ist nach § 4, 5 der Winkel tf, den die beiden Geraden ein- 
schliefsen, durch den Ausdruck bestimmt 
cos & — cos a cos a' -j- cos ß cos ß' -|- cos y cos y' 
mm' -f- nn -}- 1 
(10 
Fl -f m 2 +n 2 Vm ' 2 -f- n' 2 -f- 1 
Hieraus kann man nun die Relationen ableiteu, die zwischen 
den Constanten der Gleichungen der beiden Geraden bestehen müssen, 
damit dieselben entweder senkrecht auf einander stehen, oder zu ein 
ander parallel seien. 
Sollen die beiden Geraden senkrecht auf einander 
sein, so mufs -0 1 = 90°, also cos ^ — 0 sein, somit drückt 
mm' -f- nn' —{— 1 = 0 
(20 
die Bedingung aus, unter welcher die beiden Geraden 
senkrecht aufeinander stehen. Ist = 0, also cos = 1, so 
sind die beiden Geraden zu einander parallel. Dann mufs aber 
mm' -f- nn* -f- 1 = j/m 2 -j- n 2 -j- 1 j/m r2 + n' 2 + 1, 
{mn — mnf -f- (m — m') 2 -f- (n — n') 2 — 0 . 
Die Summe dieser drei positiven Gröfseu kann aber nur Null 
also 
sein, wenn jede derselben Null ist. Diese drei Ausdrücke verschwinden 
nun, wenn 
m — m, n — n 
(30 
ist. Somit drücken diese beiden Gleichungen die Beding