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§ 22. Winkel einer Geraden und Ebene. 
Für den Fall des Parallelismus ist = 0 und drückt daher 
Am -j- Bn -j- C = 0 
(20 
die Bedingung aus, dafs die Gerade der Ebene parallel sei. 
Zu derselben Relation gelangt man durch Berechnung der Coor- 
diuaten des Schnittpunctes der Geraden und der Ebene, Dieselben 
stellen sich als drei Quotienten mit demselben Nenner dar und werden 
somit oo, wenn letzterer Null wird. Das Yerschwinden dieses Nenners 
drückt also die Bedingung aus, unter welcher sich die Gerade und 
Ebene in einem unendlich fernen Puncte schneiden, d. h. parallel sind. 
Für den Fall des Senkrechtstehens ergiebt die obige Formel aus 
# = 90° 
(Am + Bn + C) 2 = (A 2 + B 2 + C 2 ) (m 2 + n 2 + 1), 
oder 
(An — Bm) 2 -f- (A — Cm) 2 -J- (B — Cn) 2 = 0 
welche Gleichung nur bestehen kann, wenn jeder Summand der 
Summe verschwindet, wenn also 
' A = Cm, B ==* Cn . 
Es ist somit 
A : B : C = m : n : 1 
(3.) 
die Bedingung, dafs die Ebene und Gerade aufeinander 
senkrecht stehen. Aus diesen Gleichungen folgt die Thatsache, 
dafs die Projection der Geraden auf eine Coordinatenebene senkrecht 
steht auf der Schnittlinie der Ebene mit dieser Coordinatenebene. 
Denn aus 
A — Cm, B — Cn 
B 
folgt 
Die erste Gleichung zeigt aber, dafs die beiden Geraden in der 
(XZ)-Ebene, deren Gleichungen 
Ax -f- Cs -f- I) = 0 und x — ms -j- p , 
sind, — von denen also die erste die Durchschnittslinie der Ebene 
mit der (XZ)-Ebene und die zweite die Projection der Geraden 
auf dieselbe darstellt — und die zweite, dafs die Geraden in der 
(Z Y)-Ebene 
By -f- Cs -f- D — 0 und y — ns -f- q 
aufeinander senkrecht stehen. 
Aus diesem geometrisch evidenten Umstande hätte mau wieder 
umgekehrt die Bedingung ableiten können, unter welcher eine Ebene 
und Gerade auf einander senkrecht stehen.