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I. Abschnitt. Viertes Capitel. Die Gerade. 
§ 28. 
Bedingung, dafs eine Gerade in einer Ebene liegt und zwei 
Gerade sich schneiden. 
Sind 
A x x -j- Bjy -J- G x s -}- B x = 0, A 2 x -}- B 2 y G 2 s -f - D 0 = 0 
die Gleichungen einer Geraden, so läfst sich der Gleichung jeder 
Ebene, welche durch dieselbe hindurchgeht, die Form geben 
A, (A x x -J- B x y -f- C { s -{- B x ) + A 2 (.Ä 2 x -f- B 2 y -|- C 2 s -f - B 2 ) = 0. 
Soll daher die Gerade in der Ebene 
Ax By Cs B = 0 
liegen, so müssen sich die A, und A 2 darart bestimmt lassen, dafs die 
Identität besteht 
Ai {A x x -j- B { y -f- G x s -f- B x ) -j- A 2 (A 2 x -f- B 2 y -f- C 2 s -f- B 2 ) 
= Ax -f- By -}- Cs -f- B . 
Da diese Identität für alle Werte von x, y, s gelten soll, so müssen 
die Aj und A 2 den Gleichungen genügen: 
Ai A x -j - A 2 A 2 — A = 0 
Ai B x X 2 B 2 — B = 0 
Ai C x -f- l 2 C 2 — C — 0 
l x B x + A 2 D 2 -X> = 0. 
Damit nun diese Gleichungen sollen zusammen bestehen können, 
müssen die Werte von l x und A 2 aus zweien derselben berechnet 
den beiden anderen genügen; es mufs also die Determinante von 
zweimal drei dieser vier Gleichungen verschwinden. Da dann die 
Werte von Aj und A 2 allen vier Gleichungen genügen, so verschwindet 
auch die Determinante von je drei der vier Gleichungen. 
Die Bedingung, dafs die Gerade in der Ebene liegt, 
wird also durch die vier Gleichungen ausgedrückt 
A* 
■^-2’ 
A 
A, 
A> 
A 
B\> 
B 2 , 
B 
= o, 
Bu 
B 2 , 
B 
= 0 
Cu 
c 2} 
C 
Bu 
B 2 , 
B 
A, 
^-27 
A 
Bu 
B 2 , 
B 
Cu 
C 27 
C 
= 0, 
Cu 
c 2 . 
c 
= 0, 
A, 
A» 
B 
Bu 
B v 
B 
J 
von denen aber je zwei die Folge derbeiden anderen sind. 
Sind die Gleichungen der Geraden in den speciellen 
Formen gegeben 
x = ms -J- p , y = ns -j- q ,