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I. Abschnitt. Viertes Capitel. Die Gerade. 
x = mz-{-p, y — nz-\-q, 
x = m'z -f- p, y = nz -j- 2, 
einfacheren 
(2'.) 
so reduciert sich die obige Relation auf den 
Ausdruck 
p—p = a~a m 
m — m' n — n 
Man hätte diese Relation auch dadurch ableiten können, dafs man 
den Wert von z aus je zwei unter einander stehenden der obigen 
Gleichungen berechnete. 
Die Berechnung der £, tj, £ der Coordinaten des Durchschnitts- 
punctes der beiden Geraden aus dem obigen Gleichungssysteme liefsen 
auch die Bedingungen erkennen, unter welchen sich die beiden Ge 
raden in einem unendlich fernen Puncte schneiden, also sie zu ein 
ander parallel sind. Dies wird stattfinden, wenn der gemeinsame 
Nenner von £, rj, £ verschwindet, so dafs das gleichzeitige Ver 
schwinden dieser Determinante und der des Gleichungssystems (!'.) 
die gesuchte Bedingung für die Parallelität der beiden Geraden aus 
drückt. Im Falle jede der beiden Geraden durch die Gleichungen 
ihrer Projectionsebenen auf die (XZ)- und (YZ)-Ebene dargestellt 
wird, ergeben sich hieraus wieder die einfachen Bedingungsgleichungen 
des § 21. 
3) Wir wollen schliefslich noch die Gleichung der Ebene, welche 
durch die beiden sich schneidenden Geraden gebildet wird, aufstellen. 
Es seien A t , A 2 , A 3 , A 4 noch unbestimmte Parameter; die Gleichung 
Aj {A x x -f- B x y C y z -f- B x ) -J- A 2 (A 2 x -f- B 2 y -f- C 2 z -f- D 2 ) = 0 
gehört einer Ebene an, welche durch die eine, und 
^3 (A\X -J- B x y -f- C x z -f- B { ') -f- A 4 {A 2 'x -f- B 2 y -f- C 2 z -f- B 2 ) = 0 
einer Ebene, welche durch die zweite Gerade geht. Die Gleichung 
der Ebene, welche durch beide Gerade hindurchgeht, mufs sich somit 
auf jede dieser Formen bringen lassen. Es müssen also die Parameter 
derartig sein, dafs man identisch hat; 
Aj (A x x -f- B t y -j- C\z -f- B t ) -j- A 2 (A 2 x -f- B 2 y -(- C 2 z -f- B x ) 
= ^3 (A x x -f- B(y -f- C x z -f- B x ) -f- A 4 (A 2 x -f- B 2 y -f- C 2 z -|- B 2 ) 
oder 
(A, A { -j- A 2 A 2 ) x -f- (A, B t -f- A 2 R 2 ) y -j- (A, 6\ -f- A 2 (7 2 ) z -f- A 4 Z), -(- A 2 D 2 
=( A 3 A’-MjA 2 ')#+(A 3 B x -\-A 4 B 2 )2/-f-(A 3 <7i -f-A 4 C 2 > + A 3 B x -\-A 4 B 2 . 
Diese Identität kann für alle möglichen Werte von x, y, z nur be 
stehen, wenn die A,, A 2 , A 3 , A 4 den Gleichungen genügen