82 
I. Abschnitt. Viertes Capitel. Die Gerade. 
Der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen ist aber nach §4,0 sin (g, g) 
wenn mit {g, g) der Winkel bezeichnet wird, den die beiden Geraden 
einschliefsen. Hieraus ergeben sich für a, ß, y die Formeln 
cos cc 
COS /1 cos v— COS X' COS V 
sin [g,g') 
cos y = 
cos ß 
COS X COS fl'— COS X' COS fl 
sin (g, g) 
COS fl COS V COS V COS fl 
sin (g, g) 
Man ist nun (Aufgabe 6) im Stande, die Gleichungen der beiden 
Ebenen zu bestimmen, welche durch je eine der gegebenen Geraden 
gehen und die gesuchte Gerade enthalten. Ihr System repräsentiert 
somit die gesuchte Gerade. 
2. Das zwischen den beiden Geraden enthaltene Stück dieser 
Geraden, die auf beiden zugleich senkrecht steht — der Abstand der 
beiden Geraden — ist offenbar gleich dem Abstande irgend eines 
Punctes der einen Geraden von der Ebene, welche ihr parallel durch 
die andere hindurchgelegt wird. Ist also x, y, z ein Punct der zweiten 
Geraden, so ist § 12, 5 wenn d den Abstand der beiden Geraden 
bezeichnet, 
X, y, z 
p, q, o 
m, n, 1 
— 
m, n, 1 
d— ... 
tri, ri, * 1 
tri, ri, 1 
Vivi — m ) 2 -p (w — ri) 2 -(- {mri— tritt,) 2 ’ 
wo die Wurzel jenes Zeichen erhält, welches den Ausdruck positiv 
macht, oder da x _ m ' z -j- p, y = n'z -p q, 
t ri z -\- p, 
riz + q, 
z 
q, 0 
m , 
n , 
1 
— 
tn, 
n, 1 
tri , 
ri , 
1 
tri, 
ri, 1 
V {m — m’) 2 -f- (n— n f -(- ()««'— mri) 2 
Die erste der beiden Determinanten des Zählers kann man nun in 
die Summe zerlegen: 
tri Z, 
riz, 
z 
P, 
0 
m , 
n , 
1 
+ 
m, 
n, 
1 
m, 
ri , 
1 
tri, 
ri, 
1 
In dieser verschwindet aber die erste Determinante, da die gleich 
stelligen Elemente ihrer ersten und letzten Zeile sich nur um einen 
gemeinsamen Factor von einander unterscheiden. Es ist somit 
P, 
ri, 
0 
P> 
a, 
0 
tn, 
n, 
1 
— 
m, 
tn, 
1 
’ 
ri, 
1 
tri, 
ri, 
1 
V{m — w') 2 -j- (n — ri) 2 -f- {mri — mri) 2 ’ 
{p — p') (n — ri) — (q — q') (m — vi) 
Y{m — m) 2 -f- (n — ri) 2 -)- {mri— m n) 2