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dies z. B. geschieht bei «---—5, d— 2, s=z—8, wo
k——3 und —-1-1/ welche beide Auflösungen gelten,
weil die eine n=.2, und die andere n=4 voraussetzt,
worin nichts Widersprechendes liegt. Eben so muß bei
Beifp. 14 (§. 227) die Auflösung ti= — 17| verworfen
werden, weil die Anzahl der Glieder einer Progression
keine negative Größe seyn kann*). Die Formel G (§.226)
muß aber zwei Auflösungen geben, weil sie alle mögliche
Fälle der betreffenden Aufgabe umfaßt, und unter diesen
Fallen viele sind, wo die aufgestellten Bedingungen zwei
Auflösungen zulassen. Ein Beispiel dafür ist unter anderen
*) Diese Auflösung widerspricht dem eigentlichen Sinne der
Aufgabe; der Sinn der Auflösung ist jedoch eben so ungereimt
nicht, als er auf den ersten Anblick erscheinen mag. Man denke
si'cb nämlich die Progression, wo «=2 und cr—3 ist, nach beiden
Seiten hin fortgeführt, und sie wird folgende Form annehmen:
10, — 7, -4, -1, (2), 5, 8, 11/ 14...
Nun verlangt die Aufgabe die Anzahl der Glieder, von der Linken
zur Rechten gezählt, deren Summe ---442, und die Formel gibt
für diese Forderung -r—17. Sie deutet aber zugleich an, daß
diese Anzahl =17^ seyn könne, und da dieser Werth von n nega
tiv ist; so muß die Richtung, nach welcher die unter ihr begriffe
nen Glieder liegen, der Richtung der Glieder, deren Anzahl po
sitiv ist, entgegen gesetzt, also von der Rechten zur Linken liegend,
angenommen werden, und es wird das von er—2 zunächst rück
wärts liegende Glied (hier —1) als das — Iste angenommen
werden müssen. Differenz und Summe der rückwärts laufenden
Progression können nicht anders als denselben Größen der vor
wärts laufenden Progression entgegengesetzt seyn. Nach einer
solchen Abänderung des ersten Gliedes, wodurch natürlich auch
das letzte sich ändert, und nicht das seyn kann, welches die For
mel 2 der Formeltafel gibt, und nach einer analogen Abänderung
des letzten Gliedes, wenn sich dieses mit unter den gegebenen
Größen befindet, wo dann das der Aufgabe nicht gemäße erste
Glied, welches die Formel 19 gibt, ebenfalls umzuändern ist; ich
sage nach einer solchen, freilich gezwungenen, Abänderung lösen
sich die Widersprüche, welche bei den auf arithmetische Reihen sich
beziehenden Formeln des zweiten Grades vorkommen können.