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welche in (1) für x gesetzt diese Gleichung in Null verwan 
delt, und also eine Wurzel dieser Gleichung ist. 
Der erste Theil der Gleichung (1) kann aus nicht 
mehr und nicht weniger als den drei Faktoren von folgen 
der Form bestehen: (.?■+• p) (x-t-q) (x+/ - )- Bei mehr 
als drei Faktoren würde, x einen höhern als dritten Grad 
erreichen; bei weniger als drei Faktoren würde es den drit 
ten Grad nicht erreichen können. 
Einer dieser Faktoren muß nach dem Vorigen reell 
seyn; es sey x-\-p dieser reelle Factor. Nachdem man 
die Gleichung (1) von diesem Factor getrennt, erhalt man 
O(j) (o;-f-r)=:0. Die Entwickelung gibt eine quadra 
tische Gleichung, die nach §. 345, entweder zwei reelle, 
oder zwei imaginäre Wurzeln hat. 
Es hat also jede kubische Gleichung entweder drei 
reelle Wurzeln, oder eine reelle und zwei imaginäre. 
Da (x-\-q) (a-hr)=0 entwickelt die Gleichung gibt 
x i +C(/-hr)x-{-qr=zO, deren Wurzeln = 
V -l- r 
2 
zh\ ^— qr-\- j f<r ^-—j ^ sind; so sind in einer ku 
bischen Gleichung zwei imaginäre Wurzeln enthalten, wenn 
iq-hi'Y <4qr. 
§. 360. Sind die Wurzeln einer kubischen Gleichung 
folgende p, q, /•; so besteht die Gleichung selbst aus dem 
Produkte folgender Faktoren (x — p') (x— q) O — r)=^Q. 
Die Entwickelung dieses Products gibt 
-t- (pq -f- p7‘ H- qr^x — pqr =.0. Der Coefficient des 
zweiten Gliedes besteht also aus aus der Summe der drei 
Wurzeln mit verändertem Zeichen, der Coefficient des drit 
ten Gliedes aus der Summe der Produkte je zweier Wur- 
zeln mit demselben Zeichen, und das absolute Glied aus