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dem Produete der drei Wurzeln mit verändertem Zeichen.
Sind alle Wurzeln negativ, so sind die' Factoren der Glei
chung: (x-\-p) (x-+- 7) (x+r), und die Gleichung selbst
X* -i-(pc/-{-pr-1rqr')x-i-pqr=0. Bei
drei positiven Wurzeln hat die Gleichung drei Abwechse
lungen der Zeichen, und bei drei negativen Wurzeln hat
sie drei Folgen der Zeichen. Hieraus laßt sich schon ver
muthen, daß auch bei cubi'schen Gleichungen, wenn sie nur
reelle Wurzeln haben, so viele Abwechselungen der Zeichen
statt finden, als sie positive Wurzeln, und so viele Folgen
der Zeichen da sind, als sie negative Wurzeln enthalten
Dieser Satz wird im Kapitel IX. allgemein, und als für
Gleichungen von jedem Grade geltend, erwiesen werden.
§. 361, Die Auflösung der vollständigen cubischen
Gleichungen erfordert eine andere Methode, als die der
quadratischen. Es ist nämlich nur in einem Falle möglich
bei der Gleichung x* -\~ax 2 ~\-hx—n durch Ergänzung
aus dem ersten Theile einen vollständigen Cubus zu bilden,
und dieser Fall ist, wenn man hat a 2 — ‘Sb. In allen an
dern Fällen werden zu dieser Ergänzung Größen erfordert,
welche ein x enthalten; und da nun diese Ergänzungs-
Größen dem zweiten Theile der Gleichung müssen aggregirt
werden, so würden auch in diesem unbekannte Größen mit
eingeführt, deren Elimination die Lösung der anfänglichen
Gleichung erheischte. Man hätte sich also im Kreise be
wegt, ohne zum Ziele gelangt zu seyn, und gelangen zu
können.
Ist aber a 2 =3h, so lassen sich die cubischen Glei
chungen wie die quadratischen auflösen. Man habe, um
Brüche zu vermeiden, die Gleichung .x 3 4-3«x 2 -f-3st 2 .x
=—n, welche den obigen Bedingungen genügt. Man
addire zu beiden Theilen « 5 , so hat man .x 3 -^-3«w 2