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Es ist der Coefficient des fehlenden zweiten Gliedes
der biquadratischen Gleichung — </ + *+.s+7=0. Der
Coefficient der beiden quadratischen Factoren m kann fol
gende sechs Werthe haben: q + /■, q-\-s, q +t, *•+<?,
r+t, s+t. Er ist daher auch durch eine Gleichung vom
sechsten Grade gegeben. Wegen q -f 0 sind
aber drei jener Werthe den drei andern gleich, nur haben
sie entgegengesetzte Zeichen. Es hat also m drei positive,
und drei gleiche negative Werthe; es muß daher m 2 , wenn
q, r f s, t reelle Größen sind, drei positive Werthe, und
die Gleichung (4), deren Wurzeln die Werthe von m 2 sind,
drei positive Wurzeln haben. Man stößt also hier wieder
um auf den irreductibeln Fall«
Die biquadratische Gleichung habe zwei reelle q, r, und
zwei imaginäre Wurzeln h-\-k\/~~i und h— k\/—1.
Diese Wurzeln geben nur zwei von imaginären Größen be-
freiete Combinationen, nämlich </ + r, und 2h. Es ist
auch hier wieder </+;•+2ä=0. Daher müssen jene bei
den Werthe sich gleich seyn, und entgegengesetzte Zeichen
haben. Es kann demnach m 2 nur einen, und zwar einen
positiven Werth haben, und die Gleichung (4) wird in die
sem Falle nur eine reelle und zwar eine positive Wurzel haben.
Die biquadratische Gleichung habe vier imaginäre
Wurzeln, nämlich ¿±¿1/— 1, und ¿'±¿'1/— 1, Die
Summe derselben soll —0 seyn; also 27/+27* / =0, oder
¿+7*'=;0, und h——h‘. Die Combinationen zu je
zweien derselben, für die Werthe von m, sind (1) 2h, (2)
(¿+¿01/— 1, (3) (¿ —¿Ol/—1, (4) (¿'— ¿)l/—1,
(5) —(¿ + ¿01/ — 1, (6) 2ä / =—27*. Man sieht
dene Ausdruck stellt, wie man sieht, alle vier Wurzeln der Glei
chung 0 dar.