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Die letzte Gleichung gibt n 2 = i, also ti=±1. Da
aber 6=-—, so kann n— — i nicht statt finden, weil man
sonst fände —Es ist also n—-1-1, und daraus
a=c. Die reciproke Gleichung vom vierten Grade ist also
¿r 4 +ax 3 + hx 3 + ax + 1 = 0.
Die Vergleichung der Coefficienten von (2) und (4)
gibt die Gleichungen
Aus letzterer Gleichung findet man n a = l, also
wo beide Zeichen gelten, weil diesem durch die
andern Gleichungen nicht widersprochen wird. Die andern
Gleichungen geben nun d=« = &, ±6=«.
Eine reciproke Gleichung vom dritten Grade kann
also folgende beide Formen haben:
a: 3 -f-öcT 3 + «¿,’+1=0.
x 2 + «.r 3 — ax —1=0.
Man kann die hier befolgte Entwickelung auf Glei
chungen von jedem Grade anwenden, und daraus ergibt
sich nun die allgemeine Form reciproker Gleichungen, für
einen geraden Grad
(5) x~ m + ax 1 " 1 ' 1 + hx 2 " 1 ' 2 + ...,+ hx 2 + ax +1 = 0
und für einen ungeraden Grad
(ß)x 2m+1 -i-ax‘ lm +hx‘ Zm ~ 1 +cx 2m '' i +. .+c.r 3 + hx 2 +ax+1=0
oder
(7) x 2m+l +ax' lm +bx' lm ~ i + cx‘ lm '' 1 +... _cx 2 —hx 2 — ax— 1= 0.
Man kann oft einer Gleichung, welche nicht reciprok
ist, diese Form geben. So wird z. B. die Gleichung
x 4 -{~max 2 na 2 x 2 -{-ma 2 x -y- a* =0 reciprok, wenn man
setzt x~ay, und die dadurch erhaltene Gleichung durch
a 4 dividirt.