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Bei Gleichungen von gerader Ordnung müssen die
von beiden Enden gleich weit entfernten Glieder gleiche
Zeichen haben, sie mögen übrigens beide positiv oder nega
tiv seyn. Bei Gleichungen von ungerader Ordnung, kön
nen diese Glieder auch ungleiche Zeichen haben.
§. 382. Jede reciproke Gleichung von ungerader
Ordnung hat die Wurzel —1, wenn sie von der Form (6)
ist, und die Wurzel 1, wenn sie von der Form (7) ist.
Setzt man wirklich in (6) x= — 1, so wird x 2m+1 =.i,
ax 2m =ax, hx 2m ~ l =J)x 2 , cx' lm - 2 =cx 3 re., wenn man
von den Zeichen abstrahirt; und da die ungeraden Poten
zen negativ werden, so heben sich alle Glieder auf, und die
Gleichung wird —0. Setzt man in (7) x—1, so ent
steht dieselbe Gleichheit der Glieder, welche gleich weit von
beiden Enden entfernt sind, und da diese zur Hälfte das
Zeichen — haben, so wird auch hier wieder die Gleichung
in 0 verwandelt. Hieraus geht zugleich hervor, daß
xzhiz= 0 ein Theiler des ersten Theils der Gleichungen
(6) und (7) seyn wird, und daß durch die Division die
Gleichung vom 2m-i-1sten Grade auf den 2mten zu ernie
drigen sey.
Dies laßt sich auch noch, aus einem andern Gesichts
punkte betrachtet, deutlich machen. Die Gleichung (6) läßt
sich allgemein so darstellen, wenn auch deren Mittelglieder
ausgedrückt werden sollen:
■¿im+i ax 7m + hx 7m ~ l -t- ... ~{-gx m ’i-hx m ~ l + hx m ~ 2
+gvr w-3 + ... + Ix 2 -j-ax+1=0.
Werden die gleich weit von beiden Enden abstehenden
Glieder zusammen gezogen, so erhalt man:
(x lm+l -\-\.')+ax(jx Xm ~ l +l')-\-bx' t (x lm ' z Hh 1) •+* • • •
-J-gvr m-3 0r 3 + 1) + Ä.r m " 2 (.a; + 1)=0.
Die hier umklammerten Vinomien lassen sich sammt-