271
n, b, c und d, so ist diese Gleichung (x—d)(.r—b)(x—c)
(x — d)=0, und wenn das Product entwickelt wird:
x*—(ö-f- b-+-c-\- d) x 3 -\~(ab-{~ ac-\-ad+bc-\-bd-{~cd)x‘ i
— (abc-+- abd-+- acd+bcd) .r+ abcd=0.
Aus 1, 2 und 3 geht hervor, daß das Gesetz über die
Bildung der Coefficienten einer Gleichung aus deren Wur
zeln, für Gleichungen vom 2ten, 3ten und 4ten Grade gelte;
kann nun noch erwiesen werden, daß, wenn es für Glei
chungen vom /nten Grade gelte, es auch für Gleichungen
vom 7774-lten Grade gelten müsse, so ist seine Allgemein
heit dargethan.
Die Coefficienten der Gleichung
(1) x m — Ax” 1 ' 1 + Bx m ' 2 — Cx" 1 - 3 + ....d=Px=f=Q=0
seyen nach dem obigen Gesetze aus den Wurzeln a, b, c,
d...p gebildet. Um diese Gleichung auf den 777-t-lten
Grad zu bringen, multiplicire man sie (§. 397.) mit x — q,
und die dadurch entstehende Gleichung hat noch die Wurzel
(/ mehr als die Gleichung (1). Diese neue Gleichung wird
seyn:
(2) x m+1 — tA+q')x m -\-(B+qA')x m - 1 — <iC-\-qB)x m -‘ l
-h =p(Q-{-qP)xAzqQ=:0.
Ist nun in (1) A die Summe aller 777 Wurzeln ge
wesen mit entgegengesetztem Zeichen, so ist in (2) A+q
die Summe aller m-\-i Wurzeln mit entgegengesetztem Zei
chen, weil für die Wurzel <7 noch —<7 zu A gekommen ist.
Ist in (1) B die Summe der Binionen der m Wur
zeln, und zwar mit eignem Zeichen, so ist in (2) B+qA
die Summe der 7774-! Wurzeln zu Binionen combinirt,
indem zu den Binionen B noch die von qA, oder die Ver
bindung der neuen Wurzel mit allen andern hinzu gekom
men sind.
Ist ferner in (1) C die Summe der Ternionen der m