3) Es ist schon oben bemerkt worden, daß wenn man 
die Zeichen des zweiten, vierten, sechsten re. Gliedes einer 
Gleichung in die entgegengesetzten verwandelt, die reellen 
Wurzeln zwar dieselben bleiben, daß aber dadurch die posi 
tiven in negative, und die negativen in positive verwandelt 
werden *). Die Gleichung x* — l -£x 3 + — V#+f 
— 0 (M. H. S. 149) hat die vier Wurzeln +^, +£, 
+ 1, +3; und die Gleichung x* + l ~x 3 + + V-* 
+f=0 wird dieselben Wurzeln haben, nur daß sie jetzt 
negativ sind. 
§. 408. Wenn man in einer gegebenen Gleichung für 
x zwei solche Zahlen setzt, daß der Werth der Gleichung 
für die eine Substitution von dem Werthe der Gleichung 
für die andere Substitution ein verschiedenes Zeichen habe, 
so hat diese Gleichung nothwendig eine reelle Wurzel, und 
diese ist zwischen jenen beiden Zahlen enthalten. 
Die gegebene Gleichung bestehe aus den Factoren 
(1) (w—ä)(x — h) (x — c)(.x—J) .... = 0. 
Man setze für x dessen zu substituirende Werthe, die 
p und q seyn mögen, so hat man 
(2) (p — a)(p — h)(p — c)(p — d)..*.= ±M. 
(3) (7 — — 6)(</ — c)(<7 —d) ....==piV. 
Die Resultate von (2) und (3) sind nach Annahme in 
Hinsicht der Zeichen verschieden. Diese Verschiedenheit der 
Zeichen kann nur dadurch entstehen, daß wenigstens ein 
Factor in (2) mit dem correspondirenden in (3) ein ver 
schiedenes Zeichen habe, so daß man z. B. haben werde 
p-~k=±n, -und 7 — £=+«. Die Wurzel k muß 
also zwischen p und 7 liegen, also größer als die kleinste 
*) Man sehe nämlich x=—x, und verwandele bei Gleichun 
gen von ungerader Ordnung alle Zeichen in die entgegengesetzte»/ 
so erhalt man diese Umänderung der Abwechselungen und Folgen.