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Gleichung positiv werde. Dann ist also eine positive Wur
zel zwischen 0 und p enthalten.
Aus diesem Satze folgt ferner:
1) Jede Gleichung von ungerader Ordnung, deren ab
solutes Glied negativ ist, hat wenigstens eine positive
Wurzel.
2) Jede Gleichung von ungerader Ordnung, deren ab
solutes Glied positiv ist, hat wenigstens eine negative Wur
zel. Denn verwandelt man die Zeichen des zweiten, vier
ten, sechsten re. Gliedes dieser Gleichung in die entgegen
gesetzten, so muß das letzte Glied negativ werden, und die
verwandelte Gleichung hat also wenigstens eine positive
Wurzel. Nach §. 407 sind durch diese Veränderung der
Zeichen die positiven Wurzeln in negative, und die negati
ven in positive verwandelt worden; folglich hat die vor
gelegte Gleichung dieselbe negative Wurzel, welche in der
umgewandelten Gleichung positiv ist.
3) Jede Gleichung von ungerader Ordnung, deren
absolutes Glied negativ ist, hat wenigstens eine positive
und eine negative Wurzel. Sie hat, wie schon erwiesen,
nothwendig eine positive Wurzel. Verwandelt man nun die
Zeichen des zweiten, vierten, sechsten re. Gliedes in die ent
gegengesetzten, so werden auch die Zeichen der Wurzeln in
die entgegengesetzten verwandelt. Das absolute Glied be
halt dabei sein Zeichen; die neue Gleichung hat also wie
derum eine positive Wurzel, welche bei der vorgelegten Glei
chung also negativ ist.
4) Jede Gleichung, welche eine Abwechselung der
Zeichen hat, enthalt eine, aber auch nicht mehrere positive
Wurzeln. Sie hat eine positive Wurzel, weil ihr absolutes
Glied bei einer Abwechselung der Zeichen nicht anders als
negativ seyn kann, indem das erste Glied der Gleichung