287
immer als positiv vorausgesetzt wird. Nach §. 404 und
405 kann sie aber nicht mehr als eine positive Wurzel ha
ben, da nur eine Abwechselung der Zeichen in ihr vorhan
den ist.
§. 411. Hat eine Gleichung mehrere reelle und un
gleiche Wurzeln, und man setzt für x zwei Zahlen, wovon
die eine größer und die andere kleiner als x ist, und der
Unterschied beider Zahlen betragt weniger als die Differenz
der zwischen ihnen enthaltenen Wurzel und der übrigen Wur
zeln, so haben die Werthe der Gleichung für diese beiden
Substitutionen verschiedene Zeichen.
Es seyen nämlich die reellen Wurzeln der Gleichung
a, h, c, d re. und r der kleinste Unterschied zwischen die
sen Wurzeln. Ferner sollen für x die beiden Zahlen/, und
q substituirt werden, und es sey nach Annahme a zwischen
p und q enthalten, und auch p — q<Lr. Dann haben
p — a und «/ — er verschiedene Zeichen, so wie p — h, p — c,
p — d re. mit den correspondirenden Gliedern von q — h,
q — c, q — d re. gleiche Zeichen haben müssen, indem h,
c, d re- nicht zwischen p und q enthalten seyn können.
Hieraus folgt, daß die Producte der Factoren
(p—a) (p — h) (p — c) (p — d) =d=M
und (q — a) (q — h) (q — c) (q — d) = =FN,
wo p und q statt x gesetzt worden ist, verschiedene Zeichen
haben müssen. Und diese Producte sind eben die Werthe
der vorgelegten Gleichung für die Substitutionen x=p
und x=q.
Aus dem erwiesenen Satze lassen sich noch diese Fol
gerungen herleiten:
1) Wenn d kleiner ist als die kleinste Differenz zwi
schen je zweien der reellen Wurzeln einer Gleichung, und