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Ist nun eine Gleichung von beliebigem Grade gege
ben, so hat sie, je nachdem ihre Ordnung gerade oder un
gerade ist, einen reellen Factor vom zweiten oder ersten
Grade. Nach Ausscheidung dieses Factors erhalt man
eine Gleichung von gerader Ordnung, welche also einen
reellen Factor vom zweiten Grade haben wird. So fort
fahrend läßt sich jede gegebene Gleichung mit reellen Coef-
ficienten in reelle Factoren vom ersten und zweiten Grade
zerlegen, und ihre imaginären Wurzeln müssen demnach die
Form AAz\A—i haben.
Hieraus geht zugleich hervor, daß jede allgemein arith
metische Veränderung, welche mit der Größe AdL\/i
vorgenommen werden kann, auf die ihr analoge Form
A'AzB‘\/—1 führen müsse. Denn bringt man die zu ver
wandelnde Größe, den Forderungen gemäß, in einen alge
braischen Ausdruck, und vergleicht sie mit x; so entsteht
nach Wegschaffung der Wurzelgrößen eine Gleichung, deren
Wurzeln, also die Werthe von x, keine andere Form als
A'AlB X/—- 1 haben können ♦),
*) Den ersten Beweis über den in diesem §. abgehandelten
Satz hat D'Alcmbert gegeben/ in den Memoire* de i’Acad. de
Berlin. 1746, und in feiner Schrift über die Ursache der Winde.
Nach ihm bewies Euler denselben Satz in den Mem de l’Acad. de
Berlin. 1749, wobei jedoch einige in dem Beweise von D'Alcm
bert verbliebene Schwierigkeiten nicht beseitigt wurden. Foncenex
umging diese Schwierigkeiten in einer Abhandlung in den Mis-
cellaneis societatis Taurinensis, Tom. I, 1759. LagraNge hielt auch
diesen Beweis für nicht strenge genug; er gab eine Eritik und
Ergänzung des Beweises von Euler und Foncenex in den Mem.
de l’Acad. de Berlin. 1772. Der einfachste Beweis unter allen
scheint mir der zu seyn, den Laplace in den Betons de i’erole
normale mitgetheilt hat, und dem wir oben im Wesentlichen ge
folgt sind. Der Beweis ist einfach und strenge; freilich würden
aber die vorgeschriebenen Operationen bei etwas hohen Gleichun
gen in der Ausführung auf die größten Weitläufigkeiten führen.