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§. 429. Es sind in einigen der vorhergehenden §§, 
Kennzeichen angegeben worden, aus denen man auf das 
Daseyn imaginärer Wurzeln schließen kann. Diese Kenn 
zeichen sind aber nicht von der Art, daß, wenn sie fehlen, 
man daraus den Schluß machen dürfe, es seyen auch jetzt 
keine imaginäre Wurzeln in der gegebenen Gleichung ent 
halten. Eben so wenig läßt sich aus ihnen auf eine An 
zahl der imaginären Wurzeln schließen. Das folgende 
Kennzeichen, von Lagrange zuerst bekannt gemacht, ist all 
gemein, jedoch ist es bei etwas hohen Gleichungen, wegen 
der erforderlichen weitläuftigen Berechnung, nicht an 
wendbar. 
Es seyen p, <7, r f sk. die reellen, uni) A~\~B\/— 1, 
ui'+BV'—i, A'—B'U—Uc. die ima 
ginären Wurzeln einer vorgelegten Gleichung. Dann sind 
die Differenzen je zweier Wurzeln 
1) wenn beide reell sind—p—r, re. 
2) wenn die eine reell, 
und die andere imagi 
när ist ... . —p-A=pB\/-i,p-A'=pB , \/-i,K ( 
3) wenn beide imagi 
när sind, jedoch von 
verschiedenen Paa 
ren .... . —(A-~ A')Az(ß—BOI/— 1,JC. 
Legendre hat späterhin noch einen neuen Beweis dieses Satzes in 
seiner Theorie des nombres §. XIV. mitgetheilt. Eine kritische 
Zusammenstellung der vornehmsten Beweise sindet man in der 
Xote IX« zu dem Trabe de la resolution des equations numeriques 
von Lagrange, und in dem Schriftchen von Gauß: Demonstratio 
nova theorematis, omnem functlonem algebraicam rationalem in- 
tegram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus 
resolvi posse, 1799. Sowohl der Beweis von Legendre, als auch 
der von Gauß beruhen auf trigonometrischen Grundsätzen, und 
sind also nicht rein algebraisch.