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§. 438. Ein Beispiel wird das im vorigen §. Vorge
tragene verdeutlichen.
Man wolle die rationalen Wurzeln der Gleichung
a: 5 —13a: 4 + 67a: 3 — 171a: 2 + 216a:—108 =s 0 suchen.
Hat dieselbe keine imaginäre Wurzeln, so sind ihre Wurzeln
alle positiv, weil keine Folge von Zeichen in ihr enthalten
sind. Der Weitlauftigkeit wegen übergehen wir es, die
Grenze der größten positiven Wurzel zu berechnen. Wir
suchen also erst die Theiler des absoluten Gliedes 108; diese
sind: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108. Man
setze nun a:—j-f-1, dann wird das absolute Glied der
transformirten Gleichung — 1 — 13 -j- 67 — 171 -f- 216
— 108—— 8, und dessen Theiler: 1, 2, 1, 8, und wenn
sie um die Einheit vermehrt werden: 2, 3, 5, 9. Es kön
nen also nur die Zahlen 2 und 3 Wurzeln der vorgelegten
Gleichung seyn. Setzt man x=2, und a:—3, so findet
man, daß beide Substitutionen die Gleichung in Null ver
wandeln. Man hat also schon zwei Wurzeln gefunden. Man
dividire die Gleichung durch (a:—3)(a’—2), so erhalt man
zum Quotienten x s — 8a: 2 +21a: —18=0. Diese Glei
chung kann, wegen der Theiler von 18, wieder keine andere
Wurzeln haben, als x — 2, und a:=3. Man findet durch
diese Substitutionen die Gleichung wieder in Null verwan
delt. Dividirt man die letztere Gleichung durch (x— 3)
(a:—2), so erhalt man zum Quotienten x—3—0. Die
vorgelegte Gleichung hat also die fünf Wurzeln 2,2,3,3,3.
§. 439. Die Aufsuchung der rationalen Wurzeln einer
Gleichung erfordert also vorab die Kenntniß sämmtlicher
Theiler des absoluten Gliedes. Ist dieses Glied groß, so
kann das Aufsuchen der Theiler beschwerlich werden.
Will man überhaupt von einer gegebenen Zahl die
Theiler aufsuchen, so verfahrt man also. Man dividire die