wmm
m
M
393
Um gegen diese Bedingungen nicht zu verstoßen, muß
man die Näherungswerthe aller reellen, und der reellen
Theile der imaginären Wurzeln kennen, und sich diese
Kenntniß zu verschaffen, ist in vielen Fallen sehr schwierig *).
§. 472. Der vorige §. lehrt, daß man nur mit Be
hutsamkeit sich der Näherungsmethode von Newton bedie
nen müsse, wenn man versichert seyn will, daß die folgen
den Näherungswerthe der Wurzel näher kommen, als die
vorhergehenden. Wenn man sich von der Trüglichkeit der
Methode durch Erfahrung überzeugen will, so hat man nur
eine Gleichung zu bilden für die Wurzeln r, s, t, u re.,
und zwar so, daß r—a, s — a, t—a re. sehr kleine Grö
ßen seyen, und daß sie verschiedene Zeichen haben. — New
ton wendet seine Methode auf die Gleichung j 3 —-2j—-5
—0an, und setzt zuerst a—2. Er findet dadurch nach einan
der a = 2, a'— 2,1 • -, 2,0946* *, —2,09455148 • •
Der letztere Werth ist bis zur achten Decimalstelle richtig.
Die Methode hat also schnell auf einen sehr genauen Nä
herungswerts) hingeführt. Daß dies geschehen, kommt da
her, daß der letzten der beiden obigen Bedingungen genügt
worden ist, wovon man sich leicht überzeugen kann, wenn
man die beiden imaginären Wurzeln der gegebenen Glei
chung berechnet.
*) Man findet noch mehrere wichtige Bemerkungen über öie
Nähcrungsmethode von Newton in dem oft genannten Werke
von Fourier. Es wird hier bewiesen, was auch leicht aus un
sern obigen Erörterungen abzuleiten ist, daß nur dann eine Wur
zel für die Anwendung der Methode genau genug begrenzt ist,
wenn die drei letzten Kennziffern 0, o, i sind.