D. Equation différentielle du mouvement du projectile. 
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par suite, le poids de poudre brûlée, dépend de P d’une façon connue, 
ce qui ne laisse figurer dans l’équation précédente que la fonction u et 
ses dérivées des deux premiers ordres. Elle devient ainsi l’équation 
différentielle du mouvement du projectile. 
Ce raisonnement manque de rigueur et conduit à une inexactitude. 
En effet, sans même insister sur l’impossibilité où l’on serait ainsi de 
tenir compte des pertes de chaleur par les parois de la bouche à feu, 
l’égalité (1) convient seulement pour les états d’équilibre adiabatique 
d’une masse «donnée» de gaz. 
Pour l’appliquer à la masse, variable à chaque instant, produite 
par la combustion de la poudre, les auteurs engagés dans cette voie 
ont été conduits à traiter d’abord le cas inexistant de la combustion 
instantanée de la poudre, puis à ramener, par une généralisation hardie 
mais injustifiable, tous les cas possibles au précédent en remplaçant, 
dans la formule trouvée pour celui-ci, le poids total de la charge de 
poudre par le poids de poudre brûlée à l’instant considéré. Le résultat 
de cette opération est en désaccord avec la formule exacte, et la re 
lation (2) ne permet pas d’échapper à des objections analogues. 
Lorsqu’on applique directement le principe d’équivalence, toutes 
ces difficultés disparaissent. 
Il faut alors considérer les quantités de chaleur transformées 
1°) en force vive du projectile, 
2°) en travaux accessoires, force vive des gaz, frottement dans 
les rayures, 
3°) en élévation de température des parois de la bouche à feu. 
L’ensemble de toutes ces énergies est emprunté aux gaz dégagés 
par la partie brûlée de la charge. C’est le produit du poids de cette 
poudre brûlée (dans le cas des poudres sans résidus), par la chute 
de température des gaz et par leur chaleur spécifique y. 
Or la pression ou, ce qui est la même chose à un facteur constant 
près, l’accélération du projectile s’exprime au moyen de la vitesse de 
combustion, c’est-à-dire de la quantité brûlée et de sa dérivée relative au 
temps; pour calculer le volume spécifique des gaz, il suffit de connaître 
le déplacement du projectile; la température des gaz résulte de leur 
volume et de la pression, en vertu de l’équation caractéristique. On 
sait comment toutes ces quantités et la force vive du projectile dé 
pendent de u et de ses deux premières dérivées. L’équation différen 
tielle du mouvement s’en déduirait, si l’on était en mesure de calculer, 
la force vive des gaz, les pertes de chaleur par les parois de la bouche 
à feu et le travail des frottements.