et quoniam BF =2 AZ, erit etiam ABxBF= 
2 AB X ZA. uerum ABx BF rationale est. itaque 
etiam ABxZA rationale est [prop. YI; def.4]. uerum 
ABxZA = AAxAB [prop. XXXII lemma]. quare 
etiam AAxAB rationale est. 
Ergo inuentae sunt duae rectae potentia incommen 
surabiles A A, AB, quae summam quadratorum suorum 
mediam efficiant, rectangulum autem rationale; quod 
erat demonstrandum. 
XXXY. 
Inuenire duas rectas potentia incommensurabiles, 
quae et summam quadratorum suorum mediam effi 
ciant et rectangulum medium et simul summae quadra 
torum incommensurabile. 
Ponantur duae mediae potentia tantum commen 
surabiles AB, B F medium comprehendentes eius modi, 
ut AB 2 excedat BF 2 quadrato rectae sibi incommen 
surabilis [prop. XXXII], et in AB semicirculus descri 
batur A AB, et reliqua fiant, sicut supra. 
et quoniam AZ, 
ZB longitudine in 
commensurabiles sunt, 
F etiam AA, AB po 
tentia incommensura 
biles sunt [prop. XI]. et quoniam AB 2 medium est, etiam 
A A 2 -f- AB 2 medium est [prop. XXIII coroll.]. et 
sed corr. 17. ET] (alt.) F b. 18. cvyméxqov b et F, corr. m. 1. 
19. A AB] corr. ex AFB m. 1 b, AB A q>. 20. ysyovéreo] 
supra scr. F. ènaveo slqrniévoig Y. òfioicog] om. Fb, m. 2 
BY. 21. ensi] om. B, corr. m. 2. saxiv] supra m. 1 P. 
ZB] BZ B. 22. sgxl] ocqa sari F, saxiv B. 
ELEMENTORUM LIBER X. 
105