ELEMENTORUM LIBER X. 
129 
Euclides, edd. Heiberg et Menge. IIT. 
9 
XI]. uerum AF 2 et AF 2 -f- FB 2 commensurabilia sunt; 
nam AF, FB potentia commensurabiles sunt, et 
AFxFB, 2 AFx FB commensurabilia sunt [prop. 
VI]. quare etiam AF 2 -f- FB 2 et 2AFxFB incommen 
surabilia sunt [prop. XIII]. uerum EH = A F 2 -f- FB 2 , 
&K = 2AFxFB. itaque EH, &K incommensurabilia 
sunt, quare etiam E&, &N longitudine incommensu 
rabiles sunt [VI, 1; prop. XI]. et sunt rationales, 
itaque E&, 0N rationales sunt potentia tantum com 
mensurabiles. sin duae rectae rationales potentia tantum 
commensurabiles componuntur, tota irrationalis est ex 
duobus nominibus, quae uocatur [prop. XXXYI]. itaque 
EN ex duobus nominibus est in & diuisa. eodem igitur 
modo demonstrabimus, etiam EM, MN rationales esse 
potentia tantum commensurabiles, et EN, quae ex 
duobus nominibus est, in punctis diuersis ©et M 
diuisa erit [quod absurdum est; prop. XLII], et E0,MN 
eaedem non sunt, quod AF 2 + FB 2 > A A 2 -f- AB 2 ; 
uerum A A 2 -f- A B 2 > 2 A A X A B. 1 ) quare multo magis 
A F 2 -f- FB 2 > 2 A A X A B, hoc est EH> MK. quare 
etiam E0 > MN [VI, 1], itaque E0, MN eaedem 
non sunt; quod erat demonstrandum. 
1) U. prop. LIX lemma. 
1 b. 21. fisìgov V, sed corr. t$] zrjg b. Post avzr¡ add. 
r¡ EN aga ¿h Svo ovo/iázcov yalov¡íévr¡ xaz’ alio nal alio ar¡- 
(islov díaigeizai' ónsg azonov. ovy aga s>i 8vo fiéccov dsvzéga 
yaz’ alio Kcci alio Gr¡^iBtov diaigsízai r¡ ya&’ sv ¡uóvov F. 22. 
ozcsg sdsi dsi|at] om. BVb.