ELEMENTORUM LIBER X. 
167 
lelogrammo A& aequale con 
struatur quadratum UN, par 
allelogrammo H K autem 
NIT, et ponantur ita, ut MN, 
N& in eadem recta sint; 
itaque etiam PN, NO in 
eadem sunt recta, expleatur 
quadratum UTI. tum ex iis, 
quae antea demonstrata sunt 
[prop. LUI lemma], adparet, 
MP medium esse proportionale inter UN, N11 et 
= EA [p. 162, 1], et esse M& 2 = AT [p. 162, 5]. 
iam demonstrandum est, MB ex duabus mediis primam 
esse, quoniam A E, EA longitudine incommensura 
biles sunt, et EA, AB commensurabiles, A E, AB 
incommensurabiles erunt [prop. XIII]. et quoniam 
AH, EH commensurabiles sunt, etiam A E utrique 
AH, HE commensurabilis est [prop. XY]. uerum 
A E, AB longitudine incommensurabiles sunt, quare 
etiam AH, HE rectae AB incommensurabiles sunt 
[prop. XIII]. itaque BA et AH, HE rationales sunt 
potentia tantum commensurabiles, quare utrumque A&, 
HK medium est [prop. XXI], quare etiam utruraque 
UN, NH medium est. itaque etiam MN, N& mediae 
sunt, et quoniam AH, HE longitudine commensura 
biles sunt, etiam A&, HK, hoc est UN, NH siue 
MN 2 , N& 2 commensurabilia sunt [VI, 1; prop. XI]. 
et quoniam AE, EA longitudine incommensurabiles 
sunt, et A E, AH commensurabiles, et EA, EZ com- 
H E Z 
r 
¿au.v BYb, m. 2 F. 
MK F, corr. m. 2. 
20. xat tÒ A&] eras. V. 
tc3] trj P.