ELEMENTORUM LIBER X. 
177 
spatio rationali et medio aequalem quadratam, quae 
uocatur. 
comparentur enim eadem, quae in superioribus de 
monstrationibus. manifestum igitur est, esse MS 2 = AF 
[p. 162, 1 sq. ]. iam de 
monstrandum est, M% esse 
rectam spatio rationali et 
medio aequalem quadratam, 
nam quoniam AH, HE in 
commensurabiles sunt [prop. 
XVIII], A&, &E, hoc est 
MN 2 , A 1 S 2 , incommensura 
bilia sunt [VI, 1; prop. XI]. 
itaque MN, N& potentia 
incommensurabiles sunt, et quoniam A A ex duo 
bus nominibus est quinta, et minor pars eius est 
EA, EA et AB longitudine commensurabiles sunt 
[deff. ait. 5]. uerum A E, EA incommensurabiles sunt, 
quare etiam AB, A E longitudine incommensurabiles 
sunt [prop. XIII]. 1 ) itaque AK, hoc est MN 2 -f- N& 2 , 
medium est [prop. XXI]. et quoniam A E, AB, hoc 
est A E, EK, longitudine commensurabiles sunt, et 
A E, EZ commensurabiles, etiam EZ, EK commensu 
rabiles sunt [prop. XII]. et EK rationalis est. itaque 
etiam EA, hoc est MP siue MNxNfi, rationale est 
[prop. XIX]. itaque MN, N& potentia incommen 
surabiles sunt summam quadratorum suorum mediam 
efficientes, rectangulum autem rationale. 
1) Cum lin. 13 ixqcc, quod edd. post A E habent, in codd. 
omittatur, malui delere ai B A — lin. 14 aviiuBXQOL. 
Euclidea, edd. Heiberg et Menge. III. 
12