ELEMENTORUM LIBER X. 
211 
-E 
-B 
~A 
Sit AB spatio rationali et medio aequalis quadrata, 
et rectae AB commensurabilis sit FA. demonstrandum, 
etiam FA spatio rationali et medio aequalem esse 
quadratam. 
-A ~r diuidatur AB in rectas in E-, itaque A E, 
EB potentia incommensurabiles sunt effi 
cientes summam quadratorum mediam, rect- 
angulum autem rationale [prop. XL]; et com 
parentur eadem, quae antea, iam similiter 
demonstrabimus, FZ, ZA potentia incommen 
surabiles esse et A E 2 -)- EB 2 , FZ 2 -f- Z A 2 commen 
surabilia et AEx EB, FZ X ZA commensurabilia, 
quare etiam FZ 2 + Z A 2 medium est, FZxZA autem 
rationale. 
Ergo FA spatio rationali et medio aequalis est 
quadrata; quod erat demonstrandum. 
LXX. 
Recta rectae duobus spatiis mediis aequali quadratae 
commensurabilis ipsa duobus spatiis mediis quadrata 
est aequalis. 
Sit AB duobus spatiis mediis aequalis quadrata, 
et rectae AB commensurabilis FA. demonstrandum, 
etiam FA duobus spatiis mediis aequalem esse qua 
dratam. 
nam quoniam AB duobus spatiis mediis 
aequalis est quadrata, in E in rectas diuidatur. 
itaque A E, EB potentia incommensurabiles 
sunt efficientes summam quadratorum mediam 
et rectangulum medium et praeterea AE 2 -f- EB 2 , 
AExEB incommensurabilia [prop. XLI]; 
14* 
■A -F 
E 
-B