ELEMENTORUM LIBER X. 
231 
mensurabiles sunt, AB, BF longitudine incommen 
surabiles sunt, itaque etiam AB 2 , ABxBF incom 
mensurabilia sunt [prop. XXI lemma, prop. XI]. uerum 
AB 2 , AB 2 -\- BF' 2 commensurabilia sunt [prop. XY] 
et ABxBF, 2 ABxBF commensurabilia [prop. VI]. 
itaque 2 ABxBF et AB 2 BF 2 incommensurabilia 
sunt [prop. XIII j. est autem A E = AB 2 -f- BF 2 , 
A0 — 2ABXBF. itaque A E, A 0 incommensura 
bilia sunt, uerum AE:A0 = HA:AZ [VI, 1]. 
itaque HA, AZ incommensurabiles sunt [prop. XI]. 
et utraque rationalis est. itaque HA, AZ rationales 
sunt potentia tantum commensurabiles, quare ZH 
apotome est [prop. LXXIII]. uerum AI rationalis est. 
spatium autem recta rationali et irrationali compre 
hensum irrationale est [prop. XX], et recta ei aequalis 
quadrata irrationalis est. et AF 2 = Z E. ergo AF 
irrationalis est [def. 4]; nocetur autem mediae apotome 
secunda; quod erat demonstrandum. 
LXXVI. 
Si a recta aufertur recta potentia incommensura 
bilis toti et cum tota efficiens summam quadratorum 
rationalem, rectangulum autem medium, reliqua irratio 
nalis est; uocetur autem minor. 
, , A recta enim AB recta au- 
A r 3 feratur BF potentia toti incom- 
sed corr. 15. ian PY, comp. Fb. aga avro Theon (BFYb). 
16. sari.v] ian PBY, comp. Fb. rj AT] (alt.) m. 2 F. 
17. sari PBV, comp. Fb. de] ds in F. usarj P, et V, 
corr. m. 2. onsg sdsi dst|ca] comp. P, om. BF\ b. 22. 
ös F. 23. son BY, comp. Fb.