ELEMENTORUM LIBER X. 239 
Sit AB apotome, ei autem congruens BF. 
itaque AF, FB rationales sunt potentia tantum 
commensurabiles [prop. LXXIII]. dico, nullam 
"B aliam rationalem potentia tantum toti commen 
surabilem rectae AB congruere. 
nam si fieri potest, congruat BA. itaque etiam 
-r A A, AB rationales sunt potentia tantum com- 
~ A mensurabiles [prop. LXXIII]. et quoniam 
(AA 2 + AB 2 )~2AAxAB = {Ar 2 +rB 2 )^~2ArxFB 
(nam utrumque excedit eodem spatio AB 2 [II, 7J), per 
mutando erit 
{A A 2 +AB 2 ) -v- (AF 2 +FB 2 )=2AAxAB^-2AFxFB. 
uerum A A 2 -f- A B 2 excedit A F 2 -f- FB 2 spatio rationali; 
nam utraque rationalia sunt, itaque etiam 2 A A X AB 
excedit 2AFXFB spatio rationali; quod fieri non 
potest; nam utrumque medium est [prop. XXI], me 
dium autem non excedit medium spatio rationali [prop. 
XXVI]. itaque rectae AB nulla alia rationalis po 
tentia tantum toti commensurabilis congruit. 
Ergo una tantum recta rationalis potentia tantum 
toti commensurabilis apotomae congruit; quod erat 
demonstrandum. 
LXXX. 
Mediae apotomae primae una tantum congruit recta 
media potentia tantum toti commensurabilis, cum tota 
autem spatium rationale comprehendens. 
ionv BF. 18. rrjl corr. ex xa m. 2 F. Qrjxrji V. 20. 
fua — 21. olrj] bjs F, sed corr. 20. ¡i6vov BFb. ngoa- 
agiioasL BFYb. 21. otcsq sdsi dst^at] comp. P, om. BFYb. 
22. na' F, et sic deinceps. 23. fisarjs] corr. ex fisariL m. 
rec. P, ¡18cr\i BFV, flearj b. fiia] om. b.