ELEMENTORUM LIBER X. 247 
media congruit potentia tantum toti commensurabilis, 
cum tota autem spatium medium comprehendens; quod 
erat demonstrandum. 
LXXXII. 
Rectae minori una tantum recta potentia toti in 
commensurabilis congruit cum tota efficiens summam 
quadratorum rationalem, rectangulum autem duplum 
medium. 
Sit AB minor, et rectae AB congruat BT. itaque 
AF, FB potentia incommensurabiles sunt efficientes 
„ „ summam quadratorum ratio- 
A B F A 1 
i 1 1 1 nalem, rectangulum autem du 
plum medium [prop. LXXYI]. dico, rectae AB nullam 
aliam rectam congruere eadem efficientem. 
nam si fieri potest, congruat BA. itaque etiam 
AA, AB potentia incommensurabiles sunt efficientes, 
quae diximus [prop. LXXYI]. et quoniam est [II, 7; 
cfr. p. 238, 7 sq.] 
(A A 2 + AB 2 ) (AF 2 +FB 2 ) = 2AAxAB+2 AFxFB, 
et AA 2 -\-AB 2 excedit AF 2 -f- FB 2 spatio rationali 
(nam utraque rationalia sunt), etiam 2 A A X A B 
excedit 2 AFxFB spatio rationali; quod fieri non 
potest [prop. XXYI]; nam utrumque medium est. 
Ergo rectae minori una tantum recta congruit po 
tentia toti incommensurabilis et cum tota efficiens 
Theon (BFVb). 16. xa] in ras. ra. 1 P. 17. rd] xa B; 
xa> F, sed corr. m. 1. 18. vno — da] mg. m. 2 B. xov 
— 19. AB~\ e corr. m. 1 F. 19. A A] A e corr. m. 1 Y. 20. 
vTt£Q£x £i ~\ m - 2 B. slgiv b. 21, «<?«] m. 2 B, om. FVb. 
23. I<mv] m. 2 F. 24. «9«] om. P. Ante fiia dei. rrj 
AB m. 2 V. (iovt] Y. 25. Svvafisi flovov FYb. avfi- 
fisrQog FVb, et B, corr. m. 2. %al\ om. Y. xa] xo PFV.