ELEMENTORUM LIBER X. 
257 
LXXXY. 
Inuenire apotomen primam. 
Ponatur rationalis A, et rectae A longitudine com 
mensurabilis sit BH. itaque etiam BH rationalis est. 
et ponantur duo numeri quadrati A E, EZ, quorum 
B r H differentia ZA quadratus 
A i 1 i 1 1 ., r 
0 | numerus ne sit [prop. 
E Z J XXVIII lemma 1]. itaque 
EA:AZ rationem non habet, quam numerus quadratus 
ad numerum quadratum, et fiat EA: AZ — B H 2 : HF 2 
[prop. VI coroll.}. itaque BH 2 , HF 2 commensurabilia 
sunt [prop. VI]. uerum B H 2 rationale est. itaque 
etiam HF 2 rationale est. quare etiam HF rationalis 
est. et quoniam EA : AZ rationem non habet, quam 
numerus quadratus ad numerum quadratum, ne BH 2 
quidem ad HF 2 rationem habet, quam numerus qua 
dratus ad numerum quadratum, itaque BH, HF lon 
gitudine incommensurabiles sunt, et utraque rationalis 
est. itaque BH, HF rationales sunt potentia tantum 
commmensurabiles. ergo BF apotome est [prop.LXXIII]. 
lam dico, eandem primam esse. 
sit enim & 2 — BH 2 -^-HF 2 [prop. XIII lemma], et 
quoniam est 
EA : ZA — BH 2 : HF 2 , 
etiam conuertendo [V, 19 coroll.] est 
A E : EZ = HB 2 : @ 2 . 
uerum AE: EZ rationem habet, quam numerus qua 
dratus ad numerum quadratum; nam uterque quadratus 
FVb. 15. apa] supra scr. m. 1 V. HF} e corr. Y. 17. 
BH~\ HB qp. 18. eIgiv P. 19. iati V, comp. b, aiai comp. qp. 
22. 0] in spat. 2 litt. qp. EJ] A E Y. 23, tov] ro b. 
z/Z BVb. 24. dE] in ras. m. 1 P. 
Euclides, edd. Heiberg et Menge. III. 
17