ELEMENTORUM LIBER X. 
297 
et quoniam demonstrauimus, AI et ZK incommensu 
rabilia esse, etiam AO 2 , ON 2 incommensurabilia sunt, 
itaque AO, ON potentia incommensurabiles sunt ef 
ficientes summam quadratorum rationalem, duplum 
autem rectangulum medium, quare AN irrationalis est 
minor, quae uocatur [prop. LXXYI]. et AN 2 = AB. 
Ergo recta spatio AB aequalis quadrata minor 
est; quod erat demonstrandum. 
XCY. 
Si spatium recta rationali et apotome quinta com 
prehenditur, recta spatio aequalis quadrata recta est 
cum rationali totum medium efficiens. 
Spatium enim AB recta rationali AF et apotome 
quinta A A comprehendatur, dico, rectam spatio AB 
aequalem quadratam rectam esse cum rationali totum 
medium efficientem. 
nam AH rectae A A congruens sit. itaque AH, 
HA rationales sunt potentia tantum commensurabiles, 
et congruens HA rationali 
propositae A F longitudine 
commensurabilis est, tota au 
tem AH quadrata excedit 
congruentem AH quadrato 
rectae sibi incommensurabilis 
A 
A E Z 
r 
B 0 1 
N 0 
A 
[deff. tert. 5]. itaque si \AH 2 
aequale rectae AH adplicatur 
spatium figura quadrata de 
ficiens, in partes incommen 
surabiles eam diuidet [prop. 
XYIII]. AH igitur in puncto E in duas partes aequales