ELEMENTORUM LIBER X. 
347 
E 
¿ r 
H 
primam aut rectam cum rationali totum medium effi 
cientem. 
ponatur enim rationalis ZH, et spatia similiter 
adplicentur. itaque eodem modo [p. 342, 19 sq.] se- 
& quitur, Z@ rationalem esse 
et rectae ZH longitudine in 
commensurabilem, KZ autem 
rationalem et rectae ZH lon 
gitudine commensurabilem, 
itaque Z@, ZK rationales 
sunt potentia tantum com 
mensurabiles [prop. XIII]. 
ergo K& apotome est [prop. 
LXXIII], ei autem congruens 
ZK. iam @Z 2 excedit ZK 2 quadrato rectae aut sibi 
commensurabilis aut incommensurabilis. 
iam si @Z 2 excedit ZK 2 quadrato rectae sibi com 
mensurabilis, et congruens ZK rationali propositae 
Z H longitudine commensurabilis est, K& apotome est 
secunda [deff. tert. 2]. ZH autem rationalis est, quare 
recta spatio A&, hoc est ET, aequalis quadrata mediae 
apotome est prima [prop. XCII]. sin @Z 2 excedit ZK 2 
quadrato rectae incommensurabilis, et congruens ZK 
rationali propositae ZH longitudine commensurabilis 
est, K& apotome est quinta [deff. tert. 5]. quare recta 
spatio EF aequalis quadrata recta est cum rationali 
totum medium efficiens [prop. XCV]; quod erat de 
monstrandum. 
cx. 
Spatio medio a medio ablato toti incommensurabili 
reliquae duae irrationales oriuntur aut mediae apo-