ELEMENTORUM LIBER X. 57 
demonstrandum, S J et AF longitudine incommensu 
rabiles esse. 
iisdem enim comparatis similiter demonstrabimus, 
esse -BjT 2 = A 2 -}- ZA 2 , BF 2 autem A 2 excedit qua 
drato rectae sibi incommensurabilis, itaque BF, ZA 
longitudine incommensurabiles sunt, quare BF etiam 
reliquae BZ AF incommensurabilis est [prop. XVI], 
uerum BZ-\- A F rectae AF longitudine commensura 
bilis est [prop. VI]. quare etiam BF rectae AF longi 
tudine incommensurabilis est [prop. XIII]. itaque etiam 
dirimendo BA et AF longitudine incommensurabiles 
sunt [prop. XYI]. 
Ergo si duae rectae, et quae sequuntur. 
Lemma. 
Quoniam demonstratum est [prop. IX coroll.], rectas 
longitudine commensurabiles semper etiam potentia 
commensurabiles esse, rectas autem potentia commen 
surabiles non semper etiam longitudine, sed posse 
longitudine tum commensurabiles esse tum incommen 
surabiles, adparet, si recta aliqua rationali propositae 
longitudine commensurabilis sit, eam rationalem eique 
commensurabilem uocari non modo longitudine, sed 
etiam potentia, quoniam rectae longitudine commen 
surabiles semper etiam potentia commensurabiles sunt; 
sin recta rationali propositae potentia commensura 
bilis sit, si etiam longitudine sit commensurabilis, 
eam sic quoque rationalem eique longitudine et potentia 
commensurabilem uocari; sin rursus recta rationali 
'.Svumr^v 
irjxu' deu 
¿Teo; kuv 
J F fiiifi- 
igruuiTjiós 
f «tfiW 
19. civzr] F. 20. ansi ca] ai ydg Theon (BFYb). 22 
xai] (alt.) m. 2 B. avri] P.