* 
Divisores numerorum formae pp ± nqq. 
155 
possunt: semper enim 
dz a oriundi duplicis 
nt, quos simili modo 
vel 2 
z nqq omnes divisores 
licet, dum contra, si 
nolestum, ex singulis 
ne est optandum, ut 
>ria ad summum per- 
asse sperari posse, si 
formulae V ni -t- a et 
>situm n primos com- 
; nulli autem numeri 
posterioris formae ex 
nter se cohaerere, ita 
nihil deficiat nihilque 
'um Herum in eadem 
, ex iis reliqui omnes 
dua respectu divisoris 
Hates numerorum jam 
mium numerorum huc 
)que minorum; altera 
*e possunt. 
nili et in natura ipsa 
icem distingui, ita ut 
ullius numeri formae 
rum natura ab indole 
t, qui divisibiles sunt 
ores, etiam isti hujus 
5) Cum autem producta ex binis numeris classis kni-t-a in classem divisorum kni-\-a 
transeant, manifestum est, in prima classe plurimos occurrere debere numeros ab indole divisorum 
alienos; omnes scilicet eos, qui per ullum numerum alterius classis sunt divisibiles. 
6) Quod si jam omnes isti numeri in classe 4/ii-t-a deleantur sive excludantur, qui natura 
divisorum refragantur, maxime probabile videtur, reliquos numeros omnes indole divisorum fore 
praeditos. Cum hoc modo tantum numeri compositi expungantur, evidens est omnes plane numeros 
primos in forma h ni -+- a contentos revera fore divisores cujuspiam numeri formae pp z!z nqq. 
Totum ergo negotium huc redit, ut isti probabilitati vis perfectae demonstrationis concilietur. Haec 
autem veritas si qua est elegantius ita proponi potest. 
Theorema demonstrandum. 
§ 43. Si fuerit a divisor cujuspiam numeri formae pp-t-nqq, ita ut sit aD = pp-i-nqq, tum 
quoties kni-*-a est numerus primus, toties quoque erit D {hni-+- a) numerus formae pp-t~nqq. 
Hic autem sequentia notari oportet: 1) Numeros p et q inter se esse debere primos; 2) divisorem 
a etiam primum esse debere ad /i, quoniam divisores ipsius n hinc excluduntur; 3) quod si forte 
eveniat, ut numerus D(hni-±-a) non videatur in forma pp-t-nqq contineri, tum semper ejus qua 
druplum, vel etiam ejus productum per aliud quadratum certe in ea contineri. Quoniam igitur hoc 
casu erit 
D (4ni-+- a) =(f) -+~ n {j) ’ 
haec resolutio nullam exceptionem mereri est censenda. Ita cum sit 27 = 4*-i- 11.1 2 , erit a = 27 
et /¿=11 et D = 1, unde formula kni-t-a evadit 44 i-1-27, quae casu ¿ = 1 praebet 71, hoc 
est numerum primum; neque tamen in integris esse potest 71 = pp 11 qq. Est vero 
4.71 = 284 = 3 2 -+- 11.5 2 , 
ideoque 
Tales autem casus raro occurrunt et ideo non sunt excipiendi, quia numeri formulae kni-t-u ita 
ex classe divisorum excluduntur, ut, etiamsi pro p et q numeri fracti accipiantur, tamen nunquam 
divisores esse queant. 
§ 44. Scholion. Superfluum foret has investigationes ad hujusmodi formulas: mppdznqq 
extendere, cum omnes divisores numerorum formae mppdrnqq semper sint etiam divisores nume 
rorum formae ppdzmnqq. Quae igitur olim in Tomo XIV Gomment. vet. Academiae de divisoribus 
numerorum formae mppdznqq sum commentatus et magnam partem ex sola inductione conclusi(*), 
nunc per egregias proprietates ab illustri La Grange demonstratas non solum plurimum illustrantur, 
sed etiam ad multo majorem certitudinis gradum perducuntur, ita ut jam nihil amplius desideretur, 
nisi ut solida demonstratio theorematis allati detegatur, quam nunc quidem mox exspectare licebit. 
Mea autem methodus imprimis hac gaudet praerogativa, quod ejus ope omnes plane divisores hujus 
modi formularum mpp±nqq assignari et, quousque libuerit, continuari possunt, id quod insuper 
sequenti exemplo declarabo. 
§ 45. Exemplum. Invenire omnes divisores formae pp -4- 39 qq. 
(*) Vide in tomo I Commenl. VI pag. 35 — 50,