I 
159 
Divisores numerorum formae pp ± nqq. 
hoc quadratum omitti 
‘actionibus, erit quoque 
qui cum sit numerus 
modi divisores olim in 
nt adepta, postquam a 
n dubium esse videtur, 
liatur. 
lorabilem adhuc obser- 
5 infra 2 n deprimuntur, 
riendum est, utrum hi 
nicunque horum nume- 
i habebunt sive eadem 
iebat signum —, dum 
|ue distantium perpetuo 
is numerus 59 habebat 
signo affecti depreben- 
ujusmodi autem obser- 
LV. 
Novae demonstrationes circa divisores numerorum formae XX -4- nyy. 
(N. Acta I. 1783. p. 47. Exlub. 1775. Nov. 20.) 
Cum nuper eximia inventa illustris de la Grange super divisoribus numerorum formae xx-*-nyy 
recensuissem et cum meis observationibus, quas olim plerumque per inductionem erueram, contu 
lissem, quippe quae inde haud exiguum firmamentum acceperant, non dubitavi mox perfectas de 
monstrationes, quae adhuc desiderabantur, polliceri. Fretus scilicet eram sagacitate acutissimi viri 
de la Grange, qua jam plures hujus generis demonstrationes felicissimo successu in lucem produxit. 
Postquam autem omnes circumstantias, ad quas in hac investigatione est attendendum, accuratius 
perpendissem, mihi quoque contigit praecipua momenta, quibus istae exoptatae demonstrationes 
innituntur, perspicere, quae igitur hic exponere constitui. 
§ I. Theorema 1. Si omnes numeri quadrati per numerum quemcunque primum 
P (binario excepto, quippe cujus ratio per se est manifesta) dividantur, numerus om 
nium residuorum diversorum, quae inde resultare possunt, semper est = | [P — 1). 
Demonstratio. Omnes numeri per propositum primum P non divisibiles in aliqua harum 
formularum continentur: 
APdtl, AP± 2, APzt 3, APzbV, AP=b«, 
in quarum ultima est co = \ (P— 1), quarum ergo formularum numerus est | (P — 1). Jam vero 
si quadrata cujusque harum formularum, veluti (APzt:«) 2 , per numerum P dividantur, idem rema 
nebit residuum, quod ex quadrato aa resultat, unde cum a non superet numerum oj = | (P— 1), 
manifestum est, numerum residuorum, quae ex divisione quadratorum per numerum primum P oriri 
possunt, majorem esse non posse quam | (P—1). Haecque omnia residua nascuntur ex quadratis 
i) 4-, 9, 16,.,..«w, existente a = | (P— 1), quae, quamdiu sunt minora quam P, ipsa erunt 
residua; sin autem fuerint majora, per divisionem infra P deprimi possunt, ita ut omnia minora 
evadant quam P, uti ex natura divisionis est manifestum. Superest igitur ut demonstretur, numerum 
horum residuorum minorem esse non posse quam \ (P — 1), id quod inde patebit, si ostenderimus, 
omnia quadrata non majora quam aoo, diversa producere residua. Hunc in finem sint aa et 66 
duo hujusmodi quadrata, quae si per P divisa idem praeberent residuum, eorum differentia 66 aa 
foret per P divisibilis; quia igitur P est numerus primus, vel 6-f-a, vel 6 — a deberet esse divi 
sibile per P, quia vero tam a quam 6 non superant a — { (P— 1), manifestum est, tam 6 + « 
quam 6 — a numeros ipso P minoret esse, ideoque certe per P dividi non posse; unde evidens est