Espèce particulière de carrés magiques. 
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d’où l'on pourrait former douze carrés différents de 1225 cases, dans lesquels toutes les conditions 
prescrites seraient remplies; mais on nous dispensera volontiers de la construction actuelle même 
d’un seul d’entre eux. 
Section seconde. 
Des carrés latins à double marche de la forme générale: 
1 2 3 h 5 6 .{n — 1) n 
2 i h 3 6 5 n (fi — I) 
3 k 5 6 (fi — 1 ) n i 2 
\ 3 6 5 n (n — 1 ) 2 ! 
5 6 n 1 2 3 k 
etc. 
§ 66. Nous avons déjà remarqué ci-dessus, dans la section précédente, en établissant les classes 
des carrés réguliers, que cette espèce exclut entièrement les nombres n impairs; et nous verrons 
dans la suite, que les valeurs de n doivent non seulement être pairs, mais encore pairement pairs, 
ou que le nombre des cases du carré à double marche doit être divisible par le carré de h. Mais 
avant que d’arriver à la démonstration de cette vérité, il faudra déterminer en général la relation 
qui se trouve entre les différents nombres du carré et leur position. Pour cet effet, j’observe d’abord 
que, parce que les termes de la première bande horizontale sont en même temps les indices des 
colonnes verticales qui leur répondent, aussi bien que ceux de la première bande verticale le sont 
des horizontales: chaque case du carré sera déterminée par deux indices, l’un vertical et l’autre 
horizontal. Soit donc, en général, t l’indice vertical d’un terme quelconque x, et n son indice hori 
zontal, et il s’agira de trouver la relation entre les trois lettres t, u et x. Pour cet effet, il faut 
distinguer soigneusement le cas où Pim ou l’autre des deux nombres t et u est pair, de celui où 
tous les deux sont pairs, et on verra d’abord que le premier cas fournit x = t-t-u— 1, et l’autre 
x = t-+-u— 3, ce qui fait voir en même temps que les deux indices t et u peuvent être échangés 
entre eux, sans que le terme x change de valeur, puisqu’il ne dépend que de la somme de ces 
deux lettres. Après cette observation, nous pourrons proposer notre théorème mentionné, énoncé 
de la manière suivante: 
Tous les carrés à double marche ne sauraient fournir aucune formule directrice, à moins 
que le nombre des termes, horizontaux ou verticaux, ne soit divisible par k. 
§ 67. Pour démontrer ce théorème, soit la série a, b, c, d, e, etc. une formule directrice 
quelconque pour Pexposant indéterminé a; soit a, fi, y, d, e, etc. la série des indices horizontaux 
indiqués par la lettre t, celle des indices verticaux marqués par u, qui marchent toujours suivant 
la série des nombres naturels, étant i, 2, 3, h, etc., et il faudra, en vertu de la nature des direc 
trices, exposée dans la section précédente, que l’une et l’autre de ces deux séries renferme tous les 
nombres différents depuis 1 jusqu’à n. Ayant donc les deux indices, l’un vertical et l’autre hori 
zontal, nous pourrons en déduire facilement, par les règles précédentes, la valeur de chaque terme 
de notre directrice.