404
L. EULERI OPERA ARITHMETICA. 1780.
1 — uu 2 — tt
Quin etiam hinc statim valores radicalium pro sequenti usu sponte se produnt, ut extractione radicis
non amplius indigeamus. Ex priore enim erit V(2« 4 —1) = £(1— uu)— u; ex altera vero
—2) = u (2 — tt) — t. Hic autem commade usu venit, ut utraque formula geminos praebeat
valores.
§ 6. Incipiamus a formula priore, quia casus «= 1 statim in oculos incurrit. Quoniam vero
hoc casu denominator 1 — uu evanescit, recurrendum est ad remedium notissimum, quo poni solet
u = 1 — (o y denotante co quantitatem evanescentem, ita ut ejus potestates altiores tuto rejicere liceat.
Hinc igitur erit 2m 4 = 2 — 8co, ideoque V(2ii 4 —i) = V(l—8e>) = 1—ka et 1 — uu — 2co,
hineque colligitur f = qui valor in altera formula substitutus dat V{t 4 —2)=^.
3
§ 7. Progrediamur nunc ad alteram aequationem, pro qua jam novimus valores u=t et £=—>
et quia geminos valores complectitur, novum valorem pro u elicimus, scilicet u = — 13. Hunc
3
valorem feramus in priorem formulam, pro qua jam novimus alterum valorem esse £ = y> ex quo
£d
innotescit
V(2a 4 — 1) = i (1 — uu) — u y
3
unde, oh u = 13 et t = ^y erit l/(2u 4 — 1) =— 239. Nunc vero haec ipsa aequatio nobis insuper
U,5
praebet novum valorem pro t, scilicet t = — •
§ 8. Simili modo istum valorem inferamus in alteram aequationem, et quia erat u = — 239,
inde deducimus
— 2) = u (2 — tt) —
311485
7056 ?
quo valore adhibito altera radix nobis dabit novum valorem pro u, scilicet u — ' • Quod
si denuo iste valor in priore formula assumatur, pro t iterum novum adipiscimur valorem, sicque
quousque libuerit facile progredi licebit. Mox autem, ob numeros immensos, laborem abrumpere
cogemur.
§ 9. Vis igitur istius novae methodi in hoc consistit, quod singulis valoribus ipsius t gemini
valores ipsius u, eodemque modo singulis ipsius u gemini valores ipsius t respondeant, quos ergo,
quousque sumus progressi, hic conspectui exhibeamus
u = 1,
u = — 13,
t =
t =
2
113
~84~
30199*3
U = ?
1343
quorum valorum quilibet cum binis adjacentibus combinari potest. Ex talibus autem binis valoribus
ipsi numeri quaesiti x et y hoc modo determinantur
x — £ 4 m 4 — 6ttuu +1, y = ktu (ttuu — 1).
Facile autem perspicitur hoc modo omnes plane solutiones possibiles necessario prodire debere.
