De formulis concordibus et discordibus. 
407 
Solutio. Hic igitur, proposito quocunque numero m, omnes numeri n requiruntur, quae cum 
forma proposita binas formulas concordantes exhibeant, quae ergo quaestio potissimum pendet ab 
indole numeri m, sive sit primus, sive compositus. Si enim pluribus modis in duos factores inter se 
primos resolvi queat, etiam pluribus modis sequens investigatio institui poterit. Hanc ob rem statim 
ponamus m = yv; ubi facile patet, si m fuerit numerus primus, vel potestas numeri primi, alterum 
factorum /li et v unitati aequalem accipi debere. Quo plures autem numerus m contineat factores 
inter se primos, eo pluribus modis eum ad formam f-iv revocare licebit. 
§ h. Primo ergo in genere valores quantitatum x et y ita assignemus, ut formula proposita 
XX -+- myy fiat quadratum, quod praestabitur sumendo x = =t (ppp — vqq) et y = 2pq; tum enim 
fiet xx -+- myy = {/upp -+~ vqqf; ita ut hoc casu sit 2 = upp -+~ vqq. Jam hi valores in formula 
quaesita xx -t- nyy — vv substituti dabunt hanc aequationem: 
(app — vqq) 2 -knppqq — cc. 
§ 5. Quare cum tota quaestio huc redeat, ut omnes idonei valores pro numero n investigentur, 
ex hac aequatione statim deducimus /1= — ——- j ubi loco formulae ¡upp — vqq retineamus 
litteram x, dummodo notetur ejus valorem eo pluribus modis diversum esse posse, quo plures 
factores numerus propositus m — piv complectatur. Simul vero etiam intelligitur, litteram x tam 
negative quam positive accipi posse. Hoc ergo modo habebimus numerum n — * 9 ubi el '§’° 
pro v omnes ejusmodi valores quaeri debebunt, ut numerator divisionem per denominatorem admittat. 
Quare cum numerator etiam in duos factores resolvi queat, ita ut sit n = 
(y -+- x) (y — .r) 
Àppqq 
, primo 
evidens est utrumque numeratoris factorem parem esse debere: tum vero intelligitur si alter per 
quempiam factorem ipsius ppqq fuerit divisibilis, alterum ejus complementum complecti debere. 
Evidens autem est hos binos valores ipsius ppqq inter se primos esse debere, propterea quod numeri 
v et x necessario inter se sunt primi. 
§ 6. Hic primo quidem productum ppqq statim praebet duos factores inter se primos pp et 
qq; ubi etiam pro altero sumi potest ppqq, pro altero vero unitas. Cum autem usu venire queat, 
ut productum ppqq etiam aliis modis in duos factores inter se primos resolvi possit, quos semper 
quadratos esse debere manifestum est, ponamus generatim ppqq = rrss, atque litteram v ita deter 
minemus, ut alter numeratoris factor e-t-a? divisibilis evadat per 2rr, alter vero 0 — x per 2ss. 
§ 7. Hanc ob rem ponamus v-t-x = 2frr et c — x = 2yss, ut hoc modo prodeat ipse 
numerus quaesitus n — fg. Ex illis vero aequalitatibus statim colligitur v — frr-\-yss et x — frr—yss. 
Cum autem quantitas x tanquam cognita spectari debeat, hic potissimum quaeritur, quales numeri 
pro f et y accipi debeant, ut fiat frr—yss = x, sive hoc problema erit resolvendum, quomodo 
datis numeris r, s, x, definiri debeant f et y, ut huic conditioni frr—yss = x satisfiat? id quod, 
si numeri r, s et x essent determinati, per notas analyseos operationes facile praestari posset. At 
vero hic solutione generali est opus, quam sequenti modo obtinebimus. 
§ 8. Pro numeris rr et ss, quaeramus, ope methodi jam satis cognitae, binos numeros q et 6, 
ut fractio — proxime accedat ad fractionem — ? sive ut sit orr — oss = ± 1. Constat autem 
0 ii