410 
L. EULERI OPERA ARITHMETICA. 1780. 
xx H- nyy = vv explorandi, utrum sit concordans an discordans cum formula xx -+- yy = zz. Ex 
casu autem notissimo formularum discordantium xx -f- yy et xx — yy supra jam derivavimus 
xx-t-yy et xx -+- 2yy, quae certe etiam sunt discordantes. Quamobrem has formulas xx-t-yy et 
xx -+- 3yy hic ad examen revocabo. 
§ 15. Problema. Explorare, utrum hae duae formulae: xx -+- yy = □ et xx-+-3yy=n 
sint concordantes an discordantes. 
Solutio. Numerorum x et y alter necessario erit par, alter impar. Facile autem patet in 
formula posteriore x non esse posse parem; foret enim y impar et 3yy numerus formae 8w-t-3, 
qui cum quadrato pari nunquam quadratum efficere potest. Erit ergo x impar et y par. Pro 
priore formula erit x — pp — qq et y = 2pq, ubi ergo iterum numerorum p et q alter est par, 
alter impar. Hinc igitur posterior formula evadet 
xx -4- 3yy — p 4 -H 10 ppqq -f- q i = □ , 
quae formula reducitur ad hanc: [pp -+- qqf-*- 2 (2pq) 2 ‘. Statuamus ergo 
PP qq = — {rr—2 ss) et 2pq = 2rs, ideoque pq = rs. 
§ 16. Hic jam tuto assumere licet q = 1, siquidem pro p, r, s etiam fractiones admittere 
velimus. Habebimus ergo p = rs et nostra aequatio erit rr55H-l = dtrrqp255. Ex signis superio 
ribus deducimus rr=-~— ? quae fractio, si loco s scribamus A, reducitur ad hanc: 2 s ~ ? 
1 — .95 1 ’ t tt — 55 
quae, an quadratum producere queat, nec ne? quaeritur. 
§ 17. Hic ante omnia est observandum, numeratorem et denominatorem alium divisorem com 
munem habere non posse praeter ternarium, unde uterque vel ipse erit quadratum, vel triplum 
quadratum. Priore casu ergo habebimus 
tt —i— 2 ss = aa et tt — ss = bb, unde fit 
tt — bb-+-ss et aa = bb -+- 3 ss, 
quae formulae similes sunt ipsis propositis, ideoque eandem sortem sequentur. Posteriore casu erit 
tt-+-2ss=3aa et tt — ss=3bb. 
Ex posteriore erit tt = ss~+~3bb, unde fit 
3 aa = 3 ss h— 3 bb, sive aa — ss -+- bb, 
quae formulae iterum ipsi propositae sunt similes. 
§18. .Ex inferioribus signis erit rr 
_ 2 ss — tt 
ss -+- tt 
255 — 1 
. ubi iterum loco s scribamus quo fiat 
rr = 5 ubi divisor communis, praeter ternarium, non datur. Casus, quo numerator et deno 
minator sunt primi inter se, praebet 2ss—tt = aa, ss-h-tt — bb, ubi statim ingens absurdum se 
offert. Summa enim foret aa-t-bb = 3ss. Constat autem summam duorum quadratorum nunquam 
per 3 dividi posse. Sumatur 255 — tt = 3aa et 55-1- tt = 366, unde sequitur ss = aa-t~bb, 
hineque porro tt = 2bb — aa et 55-+- tt = 366, quod iterum per se est absurdum. 
§ 19. Ex his conjunctim jam sequitur, si formulae propositae essent concordantes, ex iis aliae 
ejusdem indolis sequerentur, atque adeo multo minores; quamobrem, cum in minoribus numeris 
nullus casus possibilis assignari queat, evictum cst> ambas formulas propositas esse discordantes.