4U
L. EULERI OPERA ARITHMETICA. 1780.
LXXVIII.
Resolutio facilis quaestionis difficillimae, qua liaee formula
maxime generalis: wzz[axx~+-byy) 2 -r- Axxyy {aw-¿-bzz) 2 ad qua
dratum reduci postulatur.
(Mera. IX. 1819. 1820 p. 14. Exhib. 1780 Junii 12.)
§ 1. Etsi hic quatuor litterae incognitae x, y, z, v occurrunt, quae tamen ad duas tantum
rationes x:y et v:z revocantur, neutra tamen earum pro cognita assumi potest, cum saepissime
reductio ad quadratum fieret impossibilis; quam ob rem tota quaestio huc reducitur, ut ambae istae
rationes exquirantur, quibus formula ad quadratum reduci queat; tum vero imprimis omnes plane
solutiones requiruntur, quod quomodo fieri sine ambagibus possit, in hac dissertatione novo plane
modo ostendere constitui. Notandum autem bic est a, h, A arbitrio nostro plane esse relictas.
§ 2. Ante omnia autem bic observandum est, nullam plane viam patere, qua quaesito satisfieri
queat, nisi litterae v et z ita definiantur, ut formula avv-v-bzz divisorem involvat formulam axx-t-byy,
quod quomodo in genere fieri possit, in sequenti lemmate sum ostensurus.
§ 3. Lemma. Invenire valores pro litteris v et z, ut formula avv -t- bzz divisionem admittat
per formulam axx -*- byy.
Solutio. Multiplicetur utraque formula per «, ut utriusque factores simplices sint
av ± zV—ab et axztiyV—ab.
Jam ponatur
av -+- zY— ab = (ax -t- yV— ab) [f-t- gV — ab)
factaque evolutione partes rationales et irrationales seorsim inter se aequentur, ac pro partibus
rationalibus habebimus av = afx — abgy, ideoque v — fx — bgy. Pro partibus autem irrationalibus
fiet z—fy-t-agx. Quamobrem si statuamus v = fx — bgy et z — fy-+-agx, fiet
avv -+- bzz = (ff-+- cibgg) (axx -+- byy).
§ h. Praemisso hoc lemmate, resolutionem quaestionis propositae sequenti problemate com
plectamur:
§ 5. Problema. Invenire omnes valores litterarum x, y, v, z, quibus haec formula:
vvzz (axx h- byy) 2 —«— A xxyy (avv -+- bzz) 2
evadat quadratum.
Solutio. Vi lemmatis praemissi statuamus v = fx — bgy et z—-fy-*-agx, et quoniam nunc
formula proposita divisionem per quadratum [axx -+- byy) 2 admittit, supererit ut facta divisione ad
quadratum reducatur ista formula:
