Problema Diophanteum. 
415 
formula 
vvzz —»— A xxyy [ff-1- abgg) 2 . 
Est vero vz = afgxx h- [ff—ahgg) xy — bfgyy, sicque quadratum reddi debebit haec expressio: 
[afgxx —i— (/f — ahgg) xy — bfgyy) 2 -+~ A xxyy (/f-H abgg) 2 , 
quae quo simplicior reddatur, dividatur utrinque per quadratum (ff+abgg) 2 , ac ponatur bre 
vitatis gratia 
A h fS n ff~ ah S8 r 
ad qua- 
ff+abgg ’ Jf -+- abgg ff-i- abgg 
hocque modo quadrato aequanda erit ista formula 
[Axx Cxy -+- Byy) 2 —h A xxyy. 
duas tantum 
§ 6. Quo hoc concinnius fieri possit, loco A scribamus — kmn, ut istam habeamus formulam: 
(Axx-r- Cxy -+- Byy) 2 — \ nmxxyy — □, 
quod praestabitur, uti constat, statuendo 
im saepissime 
t ambae istae 
Axx —i— Cxy h- Byy = X [mpp ~+~ nqq) et xy = Xpq; 
omnes plane 
3 novo plane 
relictas. 
tum enim formula nostra aequabitur huic quadrato: XX (mpp — nqq) 2 . Jam nihil impedit quominus 
statuamus j=l, cum hic tantum ratio inter x et y spectetur. Tum igitur erit x = Xpq, atque 
altera aequatio fiet AXXppqq -+- CXpq -t- B = Xmpp -\- Xnqq, quae est aequatio quadratica tam respectu 
3sito satisfieri 
litterae p quam ipsius q, ¡deoque pro utraque binos valores simul exhibebit. 
i axx-A-byy, 
§ 7. Ordinemus ergo primo aequationem respectu litterae p, quae erit 
[AXXqq — Xm) pp -+- CXpq B — Xnqq — 0; 
mem admittat 
unde patet, si pro quolibet ipsius q valore binae radices ipsius p sint p et p\ fore 
t 
„ + - CA 1 — °7 . 
* * AAJ.qq — ?.m m — A?.qq 
Simili modo aequatio respectu litterae q disposita fiet: 
pro partibus 
irrationalibus 
(,AXXpp — Xn) qq h- CXpq -+- B — Xmpp = 0, 
ita ut, si pro quolibet p valores ipsius q statuantur q et q', fiat qq = ^ Unde intelli- 
gitur, dummodo pro p et q binos habeamus valores idoneos, ex iis ope harum formularum innume 
rabiles alios erui posse, quemadmodum jam fusius ostendi. 
ilemate com- 
§ 8. At vero facillime cx ipsa aequatione quadratica tales valores elici possunt. Posito enim 
p = 0 fit qq — ~~7 quod si ergo sumamus X = Ba, fiet q = ~, hicque casus solus sufficit, ex 
quo innumerabiles alii erui poterunt. Quamobrem sil ubique X = Bn, ut fiat x = Bnpq, tum igitur 
'inula: 
constituamus hanc seriem: p, q, p, q, p", etc. ubi ergo bini termini initiales erunt p = 0 et 
7 = — ? bineque per has formulas, ob X = Bn, sequentes termini successive ita determinabuntur; 
[uoniam nunc 
divisione ad 
Cq ^ C 
1 m — AB nqq B mn — j g 
n > Cp ^ mnC 2 — (mn — AB) 2 
1 ii —ABnpp *1 n(jnu — AB) 1 — nABCC 
etc.