De insigni promotione analysis Diophanteae. 
423 
1 -+- \x -i- xx = A (pp -i- 3qq) et x=hpq, 
unde prodit ista aequatio inter p et q 
i ~t— kXpq -+- hXppqq = Ipp -+- 3Aqq, 
unde statim quosdam valores satisfacientes eruere possumus, ita ut non opus sit ad extractionem 
radicis confugere. Primo enim sumto A = 1 et q — 1, ista aequatio dabit /> = —, et sumto ¿=3 
et p — 1, erit q = 
Hos ergo ambos casus evolvamus. Sit igitur primo X—i, ita ut sit 
x = pq, et novimus casum ubi q= 1 et p — — j et quia aequatio quadratica 
pp (gg — 1) -t- kpq H- 1 = 3 qq, 
evidens est summam radicum ipsius p esse p-+-p'= _ 
3) -+- 4pq 1 = pp, erit q 
j similique modo cum sit 
gq[pp 
— 4 p 
PP - 3 
Hinc ergo formetur series q, p, q', p', etc quae in numeris ita se habebit 1, ^ ? --.-5 ete. 
I 3 
unde deducuntur hi valores pro x: — ? 
22 ’ 308 
t41 19 449 
j ideoque pro C sequentes: 3, > etc. 
Simili modo pro altero casu, ubi A = 3, p= 1 et q 
- 1 
et 
— 4/7 
~ ^ - 3 
= 1 
et q 
6 9 
erit 
P■+■ 
P-3 
1 
- 3 
- 47 
6 ’ 
11 ’ 
84 9 
2 11 7 28 
19 449 
25 ’ 1G7 
oh formulas generales 
— 4? , , —4/7 
3w -1 
et 
3/7/7 - 3 
* ’ 
iterum x = — > 
2 22 
3 — 141 
308 
5 sicque amplissimum usum hujus methodi rac satis abunde declarasse video. 
§ 15. Haec exempla nonnulla insignia compendia nobis suppeditarunt, quibus totum hoc nego 
tium multo facilius et elegantius expediri potest, quae in sequenti problemate clarius explicabimus. 
§ 16. Problema. Proposita formula hiquadratica in hac formula contenta: 
(axx -4- 2bx -+- c) 2 — h- mnxx 
invenire infinitos valores ipsius x, quibus ista formula evadit quadratum. 
Solutio. Primo ista formula fit quadratum, si fuerit 
axx -+- 2 bx -+- c = X (mpp -+- /iqq) et x = Xpq; 
tum enim ejus radix erit X {mpp — nqq). Posito igitur x — Xpq, prior aequatio induet hanc formam: 
XXappqq -+- 2 Xbpq -+- c = hnpp -+- hiqq; 
unde statim unus casus quaesito satisfaciens elicitur sumendo p = 0, tum enim erit c — Xnqq. 
Sumto igitur X = nc, fiet q = ~ 5 hicque solus casus innumerabiles alios sequenti modo producet. 
§ 17. Cum aequatio modo inventa tam pro p quam pro q sit quadratica, pro utraque etiam 
geminum valorem continebit, unde si pro quovis q gemini valores ipsius p ponantur p et p\ erit 
ex natura aequationum 
/ 2 Aha . . 
P+P S,¥e P~*~P 
2 bq 
m — Àarjq 
Simili modo pro quovis p, si gemini valores ipsius q ponantur q et q\ erit q q'=