426 
L. EULERI OPERA ARITHMETICA. 1780 
generalis est inventa; unde non solum plures solutiones particulares ad hoc institutum satis accomo- 
datas sum adeptus, sed etiam tandem mihi contigit in solutionem generalem incidere, qua fines 
analyseos Diophanteae plurimum proferentur. 
§ k. Quod si autem hujusmodi casum invenerimus, quo 33AA3——- = —5 statim inde deducimus 
<y ^ 7 1 rs {rr — ss) uu 
33133 — 1, ideoque — = —5 qua fractione ad minimos terminos reducta ponatur x = rst et r=pqu. 
rsy u 1 y pqu 1 1 
Hinc cum habuerimus 33 = f/ - j ideoque 3- = u ^ >p qq \ qua fractione ad minimos terminos 
by 2pq 1 b 2 rst 1 
reducta capiatur iterum a = u{pp — qq) et b = 2rst. 
§ 5. Hic igitur commode in usum vocari potest tabula, quam non ita pridem in dissertatione 
dedi, in qua hujus formulae: 
AB [A A — BB), 
factores non quadratos exhibui.(*) Quod si enim inde depromantur duo casus, eosdem factores non 
quadratos continentes, eorum productum utique erit quadratum, ideoque solutionem nostri problematis 
suppeditabit. In ea autem tabula statim se offerunt tales valores: p = 5, q = 2, r = 6, 1. 
Hinc enim erit 33l33—33} — \ ideoque t— 1 et u = 1, unde ergo habebimus 
rs (rr — ss) 7 u 7 0 
x rs 3 a pp — qq 7 
y pq 5 e b 2 rs 4 
Hinc ergo colligimus a = 7, b = k, x = 5, y = 3, quandoquidem tam litteras a et 6, quam x et 
y inter se permutare licet, sicque iste casus cum ante memorato convenit. 
§ 6. Simili modo tabula allegata etiam dat hos valores: p= 5, q = 2, r = 8, s= 7, 
unde fit 
Plll3AzJ3) — 1 , ergo t= 1 et u = 2. 
rs {rr — ss) 4 0 
Hinc ergo habebimus 
a pp — w 3 
x rs 14 ^ 
y ^pq 5 
8 
Quamobrem sumi potest a= 8, 6 = 3, æ = lk, y = 5, unde fit 
aaxx h- bbyy = 113 2 et aayy -+- bbxx = 38 2 , 
quae solutio a praecedente parum discrepat. 
§ 7. Adhuc alius casus ex tabula depromi potest, quo p — 6, q — 5, r = 8, s = 3,qui dat 
pq {pp — qq) 1 . , , 
— _ ~ = — ? ergo iterum ¿=1 et « = 2, unde colligitur 
a: rs 2 a pp — ^<7 11 
jT 2 pq 5 6 , h rs 24 
Sumto igitur a = 2k, 6 = 11, æ = 5, y = 2, fiet 
aaxx -+- bbyy = 122 2 et «ayy -h bbxx = 73 a . 
§ 8. Quoniam autem hoc modo solutiones tantum singulares reperiuntur, atque tabula illa ad 
limites satis arctos restringitur, hic potissimum in formulas generaliores sumus inquisituri, quae simul 
infinitam multitudinem solutionum contineant, id quod pluribus modis fieri posse observavi, etsi hae 
(*) Yide in hoc tomo Comment. LXXII. pag. 374.