552 
L. EULE RI OPERA ARITHMETICA INEDITA. 
411. Si inter residua occurrere debeat 6, divisores reperiuntur 
7, 37, 139, 1G3, 181, 241, 307, 337, 349, 379, 631, 727, 751, 997, etc. 
qui in forma 3pp-4-qq contineri deprehenduntur, si fuerit vel p = 9/i, vel 2p d q = 9/i. Harum 
autem observationum veritas tantum conjecturae innititur, neque inductione ulterius commode pro 
gredi licet. (*) 
Caput XII. 
De residuis, ex divisione biquadratorum per numeros primos ortis. 
412. Si divisor primus sit d, quod residuum a biquadrato a* relinquitur, idem non solum a 
biquadratis {d -+- a)*, (2c/-t-a) 4 , etc., sed etiam a {d — a) 4 relinquitur, unde si d = 2p-^-i, plura 
quam p residua diversa resultare nequeunt. 
413. Si residua sint 1, ce, /3, y, d, etc., quorum multitudo major esse nequit quam p, in iis 
occurrent omnia biquadrata, ad minimam scilicet formam reducta, quae insuper hac gaudebunt pro 
prietate, ut producta ex binis in iisdem repedantur. 
414. Haec ergo residua nascuntur ex biquadratis 1, 16, 81, 256,...p 4 , quae utrum pro dato 
divisore primo 2p-+-l omnia inter se futura sint diversa, nec ne? diligentius inquiri convenit. 
415. Ac primo quidem patet, si unum bis occurrat, scilicet ex biquadratis a 4 et 6 4 , tum ob 
a* per d— 2p i divisibile, fieri poterit b = md±na, unde et /i 4 a 4 —a 4 erit divisibile, 
sicque etiam n*— 1. Tum ergo quoque c 4 et /i 4 c 4 paria producent residua, singulaque residua bis 
occurrent. 
416. Si ergo divisor d sit divisor formulae 6 4 — a 4 , sumtis a et 6 minoribus quam {d, ideoque 
formulae 6 2 h-« 2 , quia neque 6 — a, neque b-\-a per eum divisibile esse potest, tum singula residua 
bis occurrent. Contra vero, si non sit factor talis formae 6 2 -na 2 , omnia residua erunt diversa. 
417. At per § 279 omnes divisores primi formae bb-+-aa in forma 4 </-+-! continentur, quare 
si divisor propositus fuerit formae 4q— 1, ex divisione biquadratorum certe 2q—1 diversa residua 
emergunt, totidemque habebuntur non-residua, neque plura. Quos casus primum evolvamus. 
418. Sit ergo divisor primus kq — 1, et residua diversa ex biquadratis oriunda 1, ce, ¡3, y, d, etc., 
quorum numerus erit 2q— 1, non-residua autem sint A, B, C, D, etc. totidem numero. Ac primo 
patet, si A fuerit non-rcsiduum, etiam Ace, A/3, Ay fore non-residua. Si enim Aa* esset residuum, 
ex biquadrato 6 4 ortum, foret 6 4 —Aa 4 per d divisibile. At est b=ma±nd, unde et m*a*—Aa*, 
ideoque m*—A esset divisibile per d, et m* relinqueret A, contra bypotbesin. 
419. Haec proprietas adeo ad omnes divisores extenditur, ita ut semper productum ex residuo 
in non-residuum sit non-residuum. At productum ex duobus non-residuis AB, si quidem divisor 
primus sit 4q — 1, certe est residuum; si enim esset non-residuum, conveniret cum termino Aa*, 
ita ut Aa 4 —AB, ac propterea a 4 —B per d esset divisibile, contra bypotbesin. 
(*) Script. ad marg. Ut 7 sit residuum divisorque 3pp-f-qq, debet esse vel p = 3m et g=7n, vel p^g—2\n, 
vel 4p±</=7«, vel p=21m, vel p±2g^= 7w.— Ut IO sit residuum, pro divisore 3jyp-t-gg debet esse 
vel p=on, vel g=5n.