Tractatus de numerorum doctrina Cap. 12. 
553 
L. Eui eri Op. arithra. II. 
70 
420. Hoc ergo casu, quo divisor est = hq— 1, residua biquadratorum eadem praedita sunt 
proprietate, atque residua quadratorum, quin etiam cum iis plane convenirent pro eodem divisore. 
Omnia enim residua biquadratorum in residuis quadratorum continentur, et cum multitudine sint 
paria, prorsus eadem sint necesse est, unde hic de residuis et non-residuis eadem valent, quae 
supra exposuimus. 
421. Sit jam divisor primus 4q-t- 1, et residua 1, a, ¡3, y, 8, etc. omnia hanc habent pro 
prietatem, ut a 1 —1 divisibilis sit per 4g -+- 1. Haec quidem residua etiam continebuntur in resi 
duis quadratorum pro eodem divisore kq-+-1; at vicissira, non omnia residua quadratorum simul sunt 
residua biquadratorum, quod ita ostenditur. 
422. Quodvis residuum quadratorum per x 2 potest repraesentari, quod si esset residuum biqua 
dratorum, foret x 2,] — 1 divisibile per kq~+-i, denotante x numerum quemcunque minorem divisore; 
nempe i 2,] —1, 2 2 ' 7 — 1, 3 2<7 — 1, 4 2y —1,. . ..(2q) 2</ —1 dividi possent per 4g —i— 1, quod cum 
fieri nequeat, non omnia quadrata in residuis biquadratorum occurrunt. 
423. Si x z in residuis biquadratorum non occurrat, ibidem non occurrant quoque ax 2 , ¡3x 2 , 
yx 2 , 8x 2 , etc., quae cum sint residua quadratorum, patet in residuis quadratorum, quorum multitudo 
est 2 q } ' tot ad minimum esse non-residua biquadratorum, quot fuerint residua biquadratorum; unde 
patet multitudinem residuorum biquadratorum vel esse —q, vel adhuc minorem, quod posterius 
autem fieri nequit. 
424. Quo haec facilius evolvere liceat, divisores simpliciores formae kq-i-i examinemus, et 
tam residua quam non-residua biquadratorum consideremus: 
pro divisore 
5 
13 
17 
29 
residua 
1 
1, 
3, 9 
1, 
13, 
16 
1, 
16, 
23, 
24, 
20, 
7, 
25 
( 2 
2, 
6, 5 
3, 
12, 
5, 
14 
2, 
3, 
17, 
19. 
11, 
14, 
21 
non-residua 
\ k 
4, 
12, 10 
9. 
2, 
15, 
8 
k, 
6, 
5, 
9, 
22, 
28, 
13 
( 3 
8, : 
11, 7 
10, 
0, 
11, 
7 
8, 
12, 
10, 
18, 
15, 
27, 
26 
pro divisore 
37 
residua 
1, 
16, 
9, 
12, 
33, 
10, 
26, 
34, 
7 
Í 2, 
32, 
14, 
31, 
29, 
15, 
24, 
20, 
18 
non-residua 
27, 
28, 
25, 
21, 
30, 
11, 
3, 
36 
( 
17, 
19, 
13. 
5, 
23, 
22, 
6, 
35. 
425. Ex his exemplis videmus numerum residuorum esse =q, quem jam demonstravimus 
majorem esse non posse. Non-residuorum numerus triplo est major, quae in ternas classes distinximus, 
cum cujusvis classis numeri peculiaribus proprietatibus gaudeant. 
426. Has tres classes commodissime ila constituere licet: cum dentur quadrata in residuis non 
occurrentia, sit xx tale quadratum; et certum est neque x, neque x 5 in residuis reperire posse. Si 
ergo residua sint 1, u, ¡3, y, 8, t, etc. ternae non-residuorum classes erunt; 
I. x, ax, /3x, yx, 8 x, etc. 
SI. x 2 , ax 2 , ¡3x 2 , yx 2 , 8x 2 , etc. 
HI. x 5 , ax 3 , f3x 3 , yx 3 , 8x 3 , etc.