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ŒUVRES DE FERMAT. — CORRESPONDANCE.
2. La méthode pour trouver les triangles composés eu conséquence
des primitifs est dans les Livres (*), ou s’en peut tirer aisément :
Soit le nombre donné 65, lequel je trouve être l’hypoténuse de
quatre triangles, par la règle déjà envoyée ( 2 ). Les nombres premiers
de la qualité requise qui le composent sont 5 et i3. Le triangle ( 3 ) de
5 est 5, 4» 3; celui de i3 est i3, 12, 5.
,1e multiplie la base 12 par la base 4* vient 48 ; puis le petit côté 5 par
l’autre 3, vient 15; et derechef 12 par 3, en croix, vient 36; puis 4
par 5, vient 20.
La somme des deux premiers produits et la différence des deux se
conds font les deux petits côtés d’un des triangles cherchés, qui sera
par conséquent ; 65, 63, 16.
Et derechef la somme des deux derniers produits et la différence
des deux premiers sont les deux petits côtés d’un autre des triangles
cherchés, qui sera partant ; 65, 56, 33.
(Que si, au lieu de i3, 12, 5, vous aviez pris le même 3, 4» 5, en
faisant la même opération, vous n’eussiez trouvé qu’un seul triangle
qui est, en mon précédent exemple : 25, 24, 7.)
Les deux autres triangles sont semblables aux deux premiers et se
font, l’un en multipliant les côtés du premier par l’hypoténuse du
second, et l’autre en multipliant les côtés du second par l’hypoténuse
du premier; ils sont donc : 65, 52, 69; 65, 60, 25.
3. Cette méthode est générale, de sorte que toute la difficulté con
siste à trouver les triangles primitifs, lorsque le nombre premier qui
leur sert d’hypoténuse est donné, et cette question se réduit à la sui
vante déjà proposée (*) :
Etant donné un nombre premier qui surpasse de Vunité un multiple
de 4, trouver les deux qnarrés qui composent le dit nombre.
( J ) Fermât va simplement en effet exposer la méthode de Diophante, TU, 22, pour con
struire quatre triangles ayant une même hypoténuse.
( 2 ) Dans la Lettre XLY, 2, 4°.
( 3 ) Le triangle qui a 5 pour hypoténuse.
( 4 ) Probablement dans un passage non conservé de la présente Lettre.
