L. - 6 SEPTEMBRE 1641. 
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Furmat. — 11. 
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double — 2 du même nombre, on ne trouvera pas les triangles qui se 
font par 29 et 12 ou par Go et 298, et une infinité d’autres; mais ou 
les trouvera tous par la règle que vous mettez en l’écrit particulier (') 
que vous avez envoyé, qui se fait mettant pour un des nombres consti 
tutifs du triangle un nombre composé de deux quarrés premiers entre 
eux et de divers ordres. 
Et cette dernière méthode sert à trouver tous les primitifs dont les 
côtés des quarrés ( 2 ) sont comme d’un nombre impair à un autre 
nombre. Par exemple, on trouvera par icelle qu’il y a deux triangles 
où les côtés des quarrés sont comme de 65 à un autre nombre, et dont 
le moindre côté est différent d’un quarré des deux autres : savoir les 
deux qui sont faits de 65 et i4 et de 65 et 24 et les autres qui sont en 
même proportion. 
Mais si on vouloit tous les triangles primitifs dont les racines des 
quarrés sont comme d’un nombre pair à un impair, comme par 
exemple de 60 à quelque autre nombre, on n’y pourroit pas satisfaire 
par cette seconde règle, sinon après un long tâtonnement ( : ‘), et la 
première règle ne donne que la raison de 60 à 1861; mais il y a encore 
trois autres proportions, outre celle-là, qui ont toutes 60 pour un de- 
leurs termes. 
J’ai deux règles différentes dont chacune donne tous les triangles 
t 1 ) Écrit perdu. — La première règle de Fermât consiste à prendre pour les nombres 
servant à former le triangle rectangle (voir page 228, note 1) 
p = r i -+-1, q = ir — 2. 
La seconde règle à prendre, r et s étant premiers entre eux, 
p = /-2 + , v 2 5 q = i{r — s)s. 
( 2 ) Frenicle appelle ici cotés ou racines des quarrés les nombres servant à former le 
triangle rectangle, désignés par p et q dans la note précédente. 
( 3 ) Si l’on pose 
r 2 -f- 1 
P- 2 
et q — r 
et que l’on fasse q = Go, on aura 
r = Gi, 
p — 1861. 
Les trois autres proportions sont 
Go, 298 ; 60, 
269; 60,