Fermât. — II. 
56 
CIV. 
SEPTEMBRE 1659. 
kk\ 
CIV. 
FERMAT A CARCAYI ('). 
< SEPTEMBRE 1639 > 
( Correspondance Huygens, n° 700. ) 
(Bibl. nat. fr. i3o4o, f° 139-140.) 
1. J’envoyai l’année passée à M. Frenicle la démonstration par la 
quelle je prouvois qu’il n’y a aucun nombre que le seul 7 qui, étant le 
double d’un quarré — 1, soit la racine d’un quarré de la même nature, 
car 49 est le double d’un quarré, 25, — 1. 
2. Je veux même que M. de Zulichem voie que cette comparaison des 
lignes spirales et paraboliques se peut rendre plus générale, et peut- 
être sera-t-il surpris de lire la proposition suivante, dont je lui garantis 
la vérité : 
En la figure 38 de M. Dettonville {fig- 94)» on pont considérer les 
spirales quarrées, cubiques, quarréquarrées, etc., tout de même qui' 
les paraboles cubiques, quarréquarrées, etc. 
Si la spirale ordinaire, en laquelle comme toute la circonférence à la 
portion E8B, ainsi la droite BA à la droite AC, se compare avec la pa 
rabole ordinaire en laquelle comme la droite RA à la droite 6A, ainsi 
le quarré de la droite RP est au quarré de la droite GQ, et le rapport 
est tel : 
Si AR est faite égale à £ de la circonférence totale, et l’appliquée RP 
au rayon AB, la ligne parabolique PQA sera égale à la spirale BCDA, 
comme le démontre M. Dettonville. 
Mais en prenant la spirale quarrée, qui est celle du second genre, 
en laquelle comme toute la circonférence est à la portion E8B, ainsi (*) 
(*) Publiée pour la première fois parM. Charles Henry {Recherches, p. 176-177). — Cet 
extrait, envoyé par Garcavi è Huygens en môme temps que le précédent, provient d’une 
lettre postérieure do Fermât.