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ŒUVRES DE FERMAT. — CORRESPONDANCE. 
In qualibet progressione similiter problema construemus imitando 
constructionem præcedentem. 
Methodum generalem in quibuslibet in infinitum potestatibus trade 
mus, si visum fuerit aut tibi aut Dom°. de Sainte-Croix. 
12. Intérim addimus propositionem pulcherrimam a nobis inven 
tam, quæ nobis lucem dedit ad hujusmodi propositiones invenien- 
In progressione naturali ultimus numerus 
in proxime majorem facit dapium trianguli collateralis, 
in triangulum numeri proxime majoris facit triplum pyramidis collateralis, 
in pyramidem numen proxime majoris facit quadruplum triangulo trian 
guli collateralis, 
et eâ in infinitum, uniformi methodo. 
( 1 ) Voir Tome I, \Observation XLVI sur Diophante. — Il est très remarquable que 
celte proposition capitale, qui donne, do fait, la composition des coefficients du binôme, 
après avoir été ainsi communiquée en i636 à Mersenne, à Sainte-Croix et à Robcrval 
{ci-après Lettre XV, 3), soit restée assez ignorée pour que dix-huit ans après, Pascal, en 
la retrouvant sous une autre forme, n’ait eu aucun soupçon de la très grande antériorité 
de la découverte do Format. 
On lit dans le Traité des ordres numériques ( Œuvres de Biaise Pascal, édition de 1779, 
t. Y, pp. 65-66), après la proposition XI : 
« Les manières de tourner une même chose sont infinies : on voici un illustre exemple 
» et bien glorieux pour moi. Celte même proposition que je viens de rouler en plusieurs 
» sortes, est tombée dans la pensée de notre célèbre conseiller do Toulouse, M. do Fcr- 
» mat; et, ce qui est admirable, sans qu’il m’en eût donné la moindre lumière, ni moi à 
» lui, il écrivoit dans sa province ce que j’inventois à Paris, heure pour heure, comme 
» nos lettres écrites et reçues on môme temps le témoignent. Heureux d’avoir concouru 
» en cette occasion, comme j’ai fait encore en d’autres d’une manière tout à fait étrange, 
» avec un homme si grand et si admirable, et qui, dans toutes les recherches de la plus 
» sublime géométrie, est dans le plus haut degré d’excellence, comme scs ouvrages, que 
» nos longues prières ont enfin obtenus de lui, le feront bientôt voir à tous les géomètres 
» de l’Europe, qui les attendent! La manière dont il a pris celte même proposition est 
» telle : » 
» En la progression naturelle qui commence par T unité, un nombre quelconque étant 
» mené dans le prochainement plus grand produit le double de son triangle. » 
» Le meme nombre, étant mené dans le triangle du prochainement plus grand, pro- 
» duit le triple de sa pyramide. » 
» Le meme nombre, mené dans la pyramide du prochainement plus grand, produit le 
» quadruple de son triangulotriangulaire. » 
» Et ainsi à l’infini, par une méthode générale et uniforme. » 
» Voilà comment on peut varier les énonciations. »