27. Remarques concernant les propositions fondamentales. 
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F. Schur Z2i ), qui évite d’introduire ici le concept de nombre, sur 
monte la principale difficulté de la démonstration du théorème de 
K. G. Chr. von Staudt en postulant que si deux points se meuvent sur 
la droite en sens contraires l’un de l’autre, ils se rencontrent né 
cessairement en un point déterminé de la droite. 
F. Enriques 324 325 ) déduit le théorème de K. G. Chr. von Staudt du 
postulat de la continuité énoncé sous la forme (graphique) de 
B. TJedeJcind. 
En résumé, toutes les démonstrations indiquées s’appuient sur la 
continuité des droites, énoncée soit sous une forme métrique, soit sous 
une forme graphique, ou tout au moins sur la possibilité de consi 
dérer la droite comme contenue dans une variété continue d’éléments 
pour laquelle le postulat d’Archimède a lieu. 
On s’est demandé s’il ne serait pas possible de faire abstraction 
de cette hypothèse en envisageant la projectivité comme résultant 
d’une suite de projections successives. L’étude à laquelle on a été 
ainsi amené a permis de développer quelques points de la géométrie 
projective non archimédienne à l’aide desquels la question des rela 
tions entre les divers théorèmes fondamentaux de la géométrie pro 
jective a pu être envisagée sous un jour tout nouveau [cf. n° 50]. 
cf. Belation entre le théorème fondamental et le réseau de Mohius. 
On a vu que la définition de la projectivité de deux droites ré 
sulte de la considération de l’homographie entre plans et de l’homo 
graphie entre espaces. Il résulte du théorème fondamental de l’espace 
projectif que cette homographie est déterminée dans le plan par 
quatre paires de points homologues et dans l’espace par cinq paires 
de points homologues. 
Cette conséquence du théorème fondamental est d’ailleurs entière 
ment équivalente au théorème fondamental lui-même. Il est remar 
quable qu’elle puisse être établie directement en utilisant seulement 
les procédés de construction de ce qu’on appelle les réseaux de Mohius 
Dans le plan, par exemple, on définit ces réseaux de la façon 
que voici: 
Soient A, JB, C, D quatre points donnés dans le plan, entièrement 
indépendants les uns des autres. On peut, par des constructions 
324) Math. Ann. 18 (1881), p. 252. Cf. J. Thomae, Grundriss einer analy- 
tischen Geometrie der Ebene, Leipzig 1906, p. 10 et suiv.; Th. Reye, Lie Géo 
métrie der Lage, (4 e éd.) Leipzig 1899, p. 58. 
325) Reale Ist. Lombarde Rendic. (2) 27 (1894), p. 565; Lezioni geom. 
proiettiva * 7 ), (l re éd.) p. 88 et suiv. 
Cf. L. Baiser, Math. Ann. 55 (1902), p. 293/300.